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[【理工类原创】] 画五角星

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发表于 2007-7-9 15:01:31 | 显示全部楼层 |阅读模式
读小学时,老师布置作业,要我们画五角星,我回家后问老爸该怎么画。老爸说,他读中学时老师教过,于是便拿出圆规和尺自顾自在纸上比划起来。没过多久,老爸兴奋地叫我过去,把画五角星的方法教给我,并让我重复了几遍,确信不会忘了才罢休。

第二天上算术课,老师问我们,五角星会画了吗?我把小手举得高高的,结果被老师叫到黑板前让我画给同学看。我按照老爸教的方法画好后,老师说,你这是碰巧了吧?你这样怎么能画得准确呢?应该要用量角器量出角度才能画得对!

我委屈得直想哭,回家后直埋怨老爸。

老爸显然有点生气了,说了句“连五角星都不会画,这老师数学水平太差”,就回到他的书桌旁去了。

过了一会儿,老爸递给我一张写了好多公式的纸,说道:“这是证明,你明天拿给老师去看去。”

我哪敢呀。

但这五角星的画法我却牢牢记住了,就像我老爸那样。

现在上了大学,我知道了,其实五角星还有好几种画法,老爸教的,是已知外接圆直径时的画法,最简单的一种。此外,已知五角星的宽度画五角星也很方便的,后来又看到了已知边长画正五边形的方法。

后来还知道了,已经证明,可以用尺和圆规,经过有限步骤,画出如下正P边形,如果P是2的幂次方,或者是个费马素数,或者是不同费马素数及其与2的幂的乘积。


五角星画法

方法一

画一圆,过圆心O画一条(水平)直线与圆相交于A,过圆心O画一条与OA向垂直的直线与圆相交于B,用圆规和直尺找出线段OA的中点C(可别说这也不会哦),以C点为圆心,线段BC的长度为半径画圆弧与OA的延长线在圆内相交于D,则线段BD的长度就是该圆内接正五边形的边长。

设圆的半径为1,得,BD=sqrt((5-sqrt(5))/2).


方法二

画一(水平)直线AB,用圆规和直尺找出线段AB的中点C,过B点作一垂线,以B点为圆心,线段BC的长度为半径画圆弧与该垂线相交于D,以D点为圆心,线段BD的长度为半径画圆弧与线段AD相交于E,过C点画一条与线段AB相垂直的直线,以A点为圆心,线段AE的长度为半径画圆弧与该垂线相交于F,则线段AF就是该正五边形的一条边长,线段AF与AB之间的夹角为36度。

设线段AB的长度为1,得,AF=sqrt(5)/2-1,线段AF与AB之间的夹角a = arccos(1/(sqrt(5)-1)).

以A点为圆心,线段AB的长度为半径画圆弧,以B点为圆心,线段BF的长度为半径画圆弧,两圆弧相交于G;以B点为圆心,线段AB的长度为半径画圆弧,以A点为圆心,线段AF的长度为半径画圆弧,两圆弧相交于H,则A、F、B、G、H分别为五角星的5个顶点。


方法三

画一(水平)直线AB,用圆规和直尺找出线段AB的中点C,过B点作一垂线,以B点为圆心,线段BC的长度为半径画圆弧与该垂线相交于D,以D点为圆心,线段BD的长度为半径画一圆,从A点出发画一过圆心D的直线并继续延伸至与圆弧相交于E,分别以A和B为圆心,以线段AE的长度为半径画两圆弧相交于F,分别以A和F为圆心,以线段AB的长度为半径画两圆弧在外侧相交于G,,分别以B和F为圆心,以线段AB的长度为半径画两圆弧在外侧相交于H,则A、B、H、F、G分别为五角星的5个顶点,线段AF与CF之间的夹角为18度。

设线段AB的长度为1,得,AF=(sqrt(5)+1)/2,线段AF与CF之间的夹角 b=a/2=arcsin(1/(sqrt(5)+1)).


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发表于 2007-7-9 16:11:01 | 显示全部楼层
我一直画不好,看来主要是方法问题啊!楼主好文笔!
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发表于 2007-7-9 17:34:19 | 显示全部楼层
哈哈,这个文风好像似曾相识。
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发表于 2007-7-9 20:00:06 | 显示全部楼层
楼主的数学学的不错啊.
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 楼主| 发表于 2007-7-9 21:08:26 | 显示全部楼层
我读的是应用数学专业,是数学家+工程师,70%理科,30%工科。

我们班级就我一个女生,所以虽然读书很辛苦,但很开心的,谁都愿意帮我,这感觉真好,嘻嘻。

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发表于 2007-7-9 21:19:06 | 显示全部楼层
很有怀旧感,突然想起儿时,老爸变戏法般叠出一个五角星的一刹那。。
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发表于 2007-7-9 21:45:01 | 显示全部楼层
引用第4楼晓菁于2007-07-09 21:08发表的 :
我读的是应用数学专业,是数学家+工程师,70%理科,30%工科。

我们班级就我一个女生,所以虽然读书很辛苦,但很开心的,谁都愿意帮我,这感觉真好,嘻嘻。


哈,哥在华理也混了两天应数二专哦~
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发表于 2007-7-9 22:14:32 | 显示全部楼层
确实,要给学生一碗水,老师得有一桶水。
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发表于 2007-7-10 09:04:29 | 显示全部楼层
楼主和你父亲好好学习就可以了,他的知识你永远学不完的。
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发表于 2007-7-10 19:18:37 | 显示全部楼层
引用第6楼醉乡常客于2007-07-09 21:45发表的 :

哈,哥在华理也混了两天应数二专哦~

醉哥在上海念大学来着?
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发表于 2007-7-10 19:45:26 | 显示全部楼层
画这个还算简单

楼主钱真多
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发表于 2007-7-10 19:53:35 | 显示全部楼层
十年前的事情了~~~~
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发表于 2007-7-11 09:22:53 | 显示全部楼层
^_^,果然啊。
醉哥的年龄还挺好猜,哈哈。
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