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证明兔子是怎样追上乌龟
作者: phoenix-chu  发布日期: 2011-12-11    查看数:    出自: 网上读书园地


      公元前五世纪,由埃利亚哲学家芝诺想出的四个悖论将这些困难明显的暴露了出来。芝诺据说是一个自学成才的乡村孩子,是数学家帕门尼茨的朋友。他在与他的保护人一起访问雅典时,发明了四个简单的悖论,把一些自鸣得意的哲学家震惊得不知所措。

    下面就是芝诺提出的四个悖论:

    “两分法”:向着一个目的地运动的物体,首先必须经过路程的中点;然而要经过这点,又必须先经过路程的四分之一点;要过四分之一点又必须首先通过八分之一点等等,如此类推,以至无穷。结论是:无穷是不可穷尽的过程,运动永远不可能开始的。

    “阿基里斯追不上乌龟”: 阿基里斯是《荷马史诗》中的善跑英雄。奔跑中的阿基里斯永远也无法超过在他前面慢慢爬行的乌龟。因为他必须首先到达乌龟的出发点,而当他到达那一点时,乌龟又向前爬了。因而乌龟必定总是跑在前头。这个论点同两分法悖论一样,所不同的是不必把所需通过的路程一再平分。

    “飞矢不动”:飞着的箭在任何瞬间都是既非静止又非运动的。如果瞬间是不可分的,箭就不可能运动,因为如果它动了,瞬间就立即是可以分的了。但是时间是由瞬间组成的,如果箭在任何瞬间都是不动的,则箭总是保持静止。所以飞出的箭不能处于运动状态。

    “操场或游行队伍”:A、B两件物体以等速向相反方向运动。从静止的C看来,比如说,A、B都在1小时内移动了2公里;可是,从A看来,则B在1小时内就移动了4公里。由于B保持等速移动,所以移动2公里的时间应该是移动4公里时间的一半。因而一半的时间等于两倍的时间。


    下面我讲讲我自己发现的悖论,该悖论是从第二个悖论引申而来。

    天文学上观测恒星是通过观测恒星上发出的光或物质流,当然如果恒星距离地球很远,比如一亿光年(光在一年时间里走过的距离),那么当天文学家接受到来自该恒星的光,是一亿年前恒星发出的,也就是说天文学家看到的是一亿年前的恒星(到这里应该可以理解吧)。现在我假设该恒星正向地球移动,由你来充当该天文学家观测该恒星并且你有足够长的年龄来完成你的工作。既然你看到的都是恒星的历史,那么当恒星碰撞地球那一时刻,你看到的也将是恒星碰撞地球之前发出的光,也就是说你看到这些光的时候,恒星已经不在你看到的光发射出来的哪个位置,而是想地球移动了一段距离,还没等你看见恒星碰撞到你,你就已经不存在了(这可能有点难以理解)。换句话说,恒星走在了它自身发出的光的前面了。
但是,爱因斯坦的相对论正是以光速不变性作为基本原理建立起来的,根据光速不变性原理,光速是不可逾越的,光始终走在恒星的前面,那么只要你还能正常观测的到恒星发来的光,则恒星走在光的后面就不会碰撞到地球。这里出现了恒星和光哪个前哪个后的悖论。

    我六年前就已经接触过第二个悖论,当时就很想解决她。但是一直以来都没能够如愿。后来,当我系统学习了量子力学以后,在从新后过头来分析芝诺的四则悖论发现,芝诺的四则悖论实际上是两则悖论而已。前面三则可以归结为空间和时间是否可以无限分割的悖论,对于后面一则,到现在我也没能有什么深刻的见解。

    也就是在前两天的一个晚上,我和一个朋友去会了两个女孩。我们一直聊天到零点,后来我那朋友要我的车送其中(另一个就住在我们聊天的茶庄的附近,在东葛路)一个女孩回家(在安吉那边),来回可能需要30到40分钟。这样一来我就只能一个人在路边傻傻地等………………

    突然间我有一个念头,傻等倒不如思考,于是我就开始考虑芝诺悖论。我把量子力学里面的最小作用量原理运用到空间和时间上,很快发现这样的处理就可以很自然的解除芝诺提出的前三个悖论。我不知道为什么会有这样的想法,只是当我考虑芝诺悖论的时候,这个想法就很自然地出现在我的脑海里。所以我也开始感觉得到科学伟人们所说的灵感是个什么东西。

    悖论的解除是这样一个过程。我假设空间和时间都不可能无限分割,但它们还是连续的。这种假设是很自然的,因为无论是谁利用何种测量工具都无法无限精确地测量空间和时间。就“阿基里斯追不上乌龟”悖论而言,我假设空间的最小测量距离为△S,最小测量时间间隔为△T。在这最小测量量里,我们无法确认被测量物具体做些什么,也没有必要确认它们具体做些什么。

    为讨论方便,我假设乌龟用B表示,移动速度为V,阿基里斯用A表示,移动速度为乌龟的三倍,即3V。并假设阿基里斯在一个最小测量时间间隔△T内正好移动了一个最小测量距离△S,即有等式△S = 3V*△T。

    现在讨论A是怎样追上并且超过B的,有了前面的假设,我们应该很容易理解:


    当阿基里斯与乌龟相距为一个△S的时候,再经过一个△T的时间(我们也只能以△T为最小计量单位),
根据假设“△S = 3V*△T” 阿基里斯向前移动了一个△S的距离,即到了乌龟原来所在的位置(图上B点)。但是,对于乌龟而言,由于V*△T<△S,而我们的测量只能够以△S为单位,所以我们不可能知道乌龟到底往前移动了多少距离,或在原来的B点,或在B’点,或在B与B’之间的某点。
          A      B      B’    C
                    | △S | △S |
                    |      3△S          |
                            图
    当经过两个△T时间的时候(以阿基里斯与乌龟相距为一个△S的时刻为记时起点):阿基里斯是
3V*2△T = 2△S,将移动到B’点。然而乌龟是V*2△T<△S,还是不能确定乌龟的位置。这是乌龟可能与阿基里斯同在B’点,也有可能跑在了阿基里斯的后面了,但还不能确定阿基里斯是否追上了乌龟。

    当经过3个△T的时候:阿基里斯是3V*3△T = 3△S,将移动到C点。这时候乌龟移动距离为V*3△T正好等于一个△S,在我们的测量范围内,所以我们可以很肯定的说乌龟跑到了B’点。而同时阿基里斯却跑到了C点,在乌龟的前面了,这就证明了阿基里斯可以超越乌龟,芝诺悖论自然解除。

    我很兴奋,因为我独自发现了这个证明。但是很快我就感到很矛盾,因为我引进了空间和时间的最小作用量,这样的话是不是就不连续了,而今天的数学是建立在微积分的基础之上的,微积分要求空间连续。为此我又不得不深入思考我引进的时空最小量的问题,很快我领悟到微积分中的dx到底有多小。无论它有多么小,但肯定不会等于0。这就和我提出的时空最小量的概念很相象了,时空最小量虽然很小,但也不会等于0,讨论小于最小量的测量将是没有任何的意义。这样的话,我们就应该对我们现今所定义的连续作一定的调整。我认为,连续的空间应该是由空间最小量构成,而不是由无限可分的线段上的“点”构成。在最小两量面是动态的过程,虽然我们并不清楚具体是怎样一个过程,但并不阻碍我们去理解里面的动态是连续的,因此最小量构成的空间也是连续的。这就涉及到了芝诺提出的第三个悖论,“飞矢不动”悖论。

    在“飞矢不动”悖论里,芝诺错误地把空间理解成有无数无限小的“点”构成,每个“点”将是一个静止的画面。但是,我提出量子时空以后,空间将由空间最小量构成,这空间最小量并不是静止的一个“点”的画面,而是一个动态的过程,因此,有无数动态的空间最小量构成的空间也将是动态的过程。芝诺的“飞矢不动”悖论也将自动解除。

    我兴奋极了,我居然一下子发现了这么多以前冥思苦想而未曾解决的问题的解决思路。我决定到网上去查询一下我是否是上述发现之第一人。很遗憾的是,我的这些讨论早就有人在讨论了,都是些大数学家在几百年前就已经讨论了类似的问题,并且相继由此而引发了两场数学危机。不过我已经感到很欣慰,毕竟我是在独立的情况下相继考虑了两场数学危机背静下的数学基础问题,并且提出了自己的思路,解除了芝诺的前三个悖论。
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 相关评论
作者: 欧阳静茹 发布日期: 2011-12-11
你这个思考可能要借助现代分析,实变函数理论就是解决微积分的严格化问题,何为连续?如何测量------由此引入测度的概念,同时对传统经典微积分理论给予了严格的论证。

连续的空间应该是由空间最小量构成,而不是由无限可分的线段上的“点”构成 ,这种提法是不够准确的。
作者: 长歌-废墟 发布日期: 2011-12-12

站在物理的角度我觉得楼主的观点很接近于现代物理学的观念,引入一个最小的空间,以前一直认为是人为引入了一个紫外截断,但是现在看来不完全是,换一个角度也可以。提醒楼主一点“最小作用量”这个称呼在物理中有着严格的定义,且有着巨大的意义,不要这样套名词,我看不出楼主的论证跟物理的“作用量”有什么关系。(在物理中,作用量大多数都是一个有着能量量纲的物理量)
另外,赞成欧阳姐的看法,楼主的这个想法要借助实变函数论中关于连续的定义才可能严密。
其实,我觉得关键是楼主的最小空间,最小时间,实际上就否决了无数个点这个观念,从根本上抽掉了芝诺悖论的基础。
作者: 长歌-废墟 发布日期: 2011-12-12
对了楼主自己提出的那个不是悖论,它建立在一句话的基础上“既然你看到的都是恒星的历史”,这个论断要成立本身就意味着恒星的速度要比光速慢,否则这个论断是不成立的。
作者: coco365 发布日期: 2011-12-12
物质的分割是有一个尽头的,在分到极限时,可以将物质分到虚无,它是不存在,就是一种特殊的存在状态。人们在分割物质的时候没有能力分到极限,但这并不意味着在自然之中的运动和变化无法达到极限。在这个龟兔赛跑的悖论中,运动达到了极限,最终使这个无限小运动到了0,使兔子追上了乌龟。
作者: nys2k 发布日期: 2011-12-12
我不够专业
我只能围观
学习一下……
作者: iamluda 发布日期: 2011-12-12
引用 http://wenku.baidu.com/view/f1d5ef26a5e9856a561260e9.html

因为运动这个概念,在数学和物理里是跟微积分联系在一起的。我们学习微积分的时候,总会有人照本宣科地告诉你,初等数学是研究常量的数学,是研究静态的数学,高等数学是变量的数学,是研究运动的数学。大家口口相传,差不多人人都知道这句话。但是真知道这句话说的是什么意思的人,好像也不多。简而言之,在我们人类的经验里,运动是一个连续过程,从A点到B点,就算走得最快的光,也是需要一个时间来逐点地经过AB之间的路径,这就带来了连续性的概念。而连续这个事情,如果不定义极限的概念,根本就解释不了。古希腊人的数学非常强,但就是缺乏极限观念,所以解释不了运动,被芝诺的那些著名悖论(飞箭不动、飞毛腿阿喀琉斯跑不过乌龟等四个悖论)搞得死去活来。因为这篇文章不是讲微积分的,所以我就不多说了。有兴趣的读者可以去看看齐民友教授写的《重温微积分》。我就是读了这本书开头的部分,才明白“高等数学是研究运动的数学”这句话的道理。
作者: zsl1971 发布日期: 2011-12-12
路过学习一下。
作者: Myran 发布日期: 2012-1-16
学习中,不懂、。。。
作者: lamses 发布日期: 2012-1-20
"我假设空间和时间都不可能无限分割,但它们还是连续的。这种假设是很自然的,因为无论是谁利用何种测量工具都无法无限精确地测量空间和时间。"从这里开始就已把悖论的基点撤销了,后面何必论证  
作者: aaaaaaa 发布日期: 2012-1-24
路过学习一下
共有评论数 31/每页显示数 10

 我来说两句
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