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发表于 2008-8-12 21:37:12
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命题 在平面上给出100点,其中任何3点都不共线,上述100点为顶点的所有可能的三角形,求证: 其中至多只有70%的三角形可能是锐角三角形.
证明 在证明命题前,首先给出一个引理:
引理: 平面上任意给定5点,其中任三点不共线,则在以它们为顶点的三角形中, 至多有7个锐角三角形[至少有3个非锐角三角形].
证 记5个点A,B,C,D,E组成点集T。任三点不共线, 构成10个三角形,因此只需证明,其中至少有3个是锐角三角形即可,考察T的凸包。
(1),T的凸包为三角形,不妨设点D,E位于在△ABC内部,显然D处至少有两个非锐角,[不然∠ADB+∠ADC+∠BDC<360°] ,从而T中至少存在两个以D为顶点的非锐角三角形。同理T中至少存在另两个以E为顶点的非锐角三角形。
(2),T的凸包为凸四边形,不妨设笫五点E位于凸四边形ABCD内部,因凸四边形的内角和为360°,故其中至少有一非锐角,不妨设为∠D,于是△ACD是一个非锐角三角形。又E必在△ACD或△ABC内部,不妨设E点在△ABC内部,于是同(1) 知T中至少存在两个以E为顶点的非锐角三角形。
(3),T的凸包为凸五边形,由于凸五边形ABCDE内角和为540°,故至少有两个内角为非锐角,这两个非锐角内角可能相邻也可能不相邻,但均有一个凸四边形,而凸四边形中至少还有一个非锐角。
综上所述知。任何一个5点集中,如果无三点共线,则以这5点为顶点的三角形中至少3个非锐角三角形,即至多7个为锐角三角形 。引理得证。
下面来证明命题: 100个点中共有C(5/100) 个不同5点组,每个5点组至少有3个非锐角三角形,只是每个非锐角三角形最多可能被重复计算了C(2/97) 次,因此以这100个点为顶点的非锐角三角形至少有3C(5/100)/C(2/97) 个,又以这100个点为顶点的三角形总数共有:
C(3/100) 个,而3C(5/100)/[C(2/97)*C(3/100)]=3/10。
因此锐角三角形所占的比例不超达70%。 |
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