关于庞加莱猜想(参与者奖励威望)

长歌－废墟

　　四天前，7号中央台新闻中忽然宣称两位中国数学家证明了近百年的数学难题：三维的Poincare猜想。依我的理解这可以说是二十一世纪以来最伟大的数学突破，价值可能超过当年Fermat大定理的证明，丘成桐先生评价说这是中国自有西方数学以来最伟大的成就。为庆贺这一重大成就，现举办此有奖活动，任何威望低于200的会员都可以参加，提供关于Poincare生平，Poincare猜想证明的历程等一切与该猜想有关的内容，版主将视内容奖励１到３个威望。

野樵

我比较想相对清楚的了解庞加莱猜想对物理学的意义，自己感觉可能会和宇宙模型有关。

lijiangjun

庞加莱猜想


　　庞加莱(Poincare)猜想 :　庞加莱在1904年发表的一組论文中提出：任一单连通的、封闭的三維流形与三維球面同胚。

　　粗浅的比喻为：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。


历史

　　庞加莱猜想由法国数学家亨利·庞加莱于1904年提出拓扑学难题。百年来无人能解。在庞加莱猜想提出後不久，就被推广到ｎ≧4维的情況，这称为广义庞加莱猜想。1961年，美国数学家S.Smale采用十分巧妙的方法绕过三、四给的困难情況，证明了五维以上的庞加莱猜想。1981年另一位美国数学家M.Freedman证明了四维猜想，至此广义庞加莱猜想得到了证明。但时至今日，庞加莱猜想却依然故我。 在2002年，一位俄罗斯的数学家裴瑞曼(Grigori Perelman)提出的论文证明了此一猜想。

　　到了2006年6月3日哈佛大学教授、著名数学家、菲尔兹奖得主丘成桐在中国科学院晨兴数学研究中心宣布：在美、俄等国科学家的工作基础上，中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学兼职教授曹怀东已经彻底证明庞加莱猜想。


Poincare猜想是数学理论的大问题。现在虽然被中国解决，但是离用于实际还是很大距离的。还是很令人振奋的。好象解决这个问题有一笔大大的奖金。不过，身为科学家应当淡泊名利一点。最近
宣传好多阿，像奥运冠军 航天英雄似的。这样一宣传，就怕科学家门顶不住糖衣炮弹，纷纷出书赚钱.
然后，后续研究就无法继续了。

唐风

庞加莱(Poincare)猜想
如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点.另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的.我们说,苹果表面是"单连通的",而轮胎面不是.大约在一百年以前,庞加莱已经知道,二维球面本质上可由单连通性来刻画,他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题.这个问题立即变得无比困难,从那时起,数学家们就在为此奋斗.

zhoujj1

庞加莱生平简介

图：龐加萊, （J.-）H. （Jules-Henri Poincare 1854-1912）

法國數學家。1854年4月29日生於南錫，1912年7月17日卒於巴黎。1873年10月以第一名考入巴黎綜合工科學校。1879年以數學論文獲博士學位。旋即去卡昂大學理學院任講師。1881年為巴黎大學教授，直到去世。

龐加萊的研究涉及數論、代數學、幾何學、拓撲學等許多領域，最重要的工作是在分析學方面。他早期的主要工作是創立自守函數理論（1878）。他引進了富克斯群和克萊因群，構造了更一般的基本域。他利用後來以他的名字命名的級數構造了自守函數，並發現這種函數作為代數函數的單值化函數的效用。1883年，提出了一般的單值化定理。同年，他進而研究一般解析函數論，研究了整函數的風格及其與泰勒展開式的系數或函數絕對值的增長率之間的關係。

龐加萊為了研究行星軌道和衛星軌道的穩定性問題，在1881~1886年發表的四篇關於微分方程所確定的積分曲線的論文中，創立了微分方程的定性理論。他研究了微分方程的解在四種類型的奇點（焦點、鞍點、結點、中心）附近的性態。他提出根據解對極限環的關係，可以判定解的穩定性。1885年，瑞典國王奧斯卡二世設立「n體問題」獎，更加引起龐加萊研究天體力學問題的興趣。他以關於當三體中的兩個質量比另一個小得多時的三體問題的周期解的論文獲獎。還證明了這種限制性三體問題的周期解的數目同連續統的勢一樣大。這以後，他進行了大量天學力體研究。引進了漸進展開的方法，得出嚴格的天體力學計算技術。他開創了動力系統理論，1895年證明了「龐加萊回歸定理」。他在天體力學方面的另一重要結果是，在引力作用下，轉動流體的形狀除了已知的旋轉橢球體、不等軸橢球體和環狀體外，還有三種龐加萊梨形體存在。

龐加萊對數學物理和偏微分方程也有貢獻。用括去法證明了狄利克雷問題解的存在性（1890），這一方法後來促使位勢論有新發展。他還研究拉普拉斯算子的特徵值問題，給出了特徵值和特徵函數存在性的嚴格證明（1894）。他在積分方程中引進複參數方法，促進了弗雷德霍姆理論的發展。

龐加萊對現代數學另一重要的影響是創立組合拓撲學。他引進貝蒂數、撓系數和基本群等重要概念，創造流形的三角剖分、單純複合形、重心重分、對偶複合形、複合形的關連系數矩陣等工具，借助它們推廣歐拉多面體定理，成為歐拉-龐加萊公式，並證明流形的同調對偶定理。他還提出龐加萊猜想。在「龐加萊的最後定理」中，他把限制性三體問題的周期解的存在問題歸結為滿足某種條件的平面連續變換不動點的存在問題。

龐加萊在數論和代數學方面的工作不多，他的<<有理數域上的代數幾何學>>（1901）開創了丟番圖方程的有理解的研究。他定義了曲線的秩數，成為丟番圖幾何的重要研究對象。他在代數學中引進群代數（Group Algebra）並證明其分解定理。第一次引進代數中左理想和右理想的概念。證明了李代數第三基本定理（The third foundamental theorem of Lie Algebra） 及坎貝爾-豪斯多夫公式（1899）。還引進李代數的包絡代數（Borel Algebra），並對其基加以描述，證明了龐加萊-伯克霍夫-維特定理。

龐加萊對經典物理學有深入而廣泛的研究，對狹義相對論的創立有貢獻。他從1899年開始研究電子理論，首先認識到洛倫茨變換構成群。

龐加萊的哲學著作<<科學與假設>>（1902）、<<科學的價值>>（1905）、<<科學與方法>>（1909）同樣有著重大的影響。

参见
http://www.onmoon.net/view.php?id=25899

anatoli

Poincare, Jules Henri (庞加莱)

Poincaré（1854～1912）生於法國 Nancy，卒於巴黎，法國數學家。工作橫跨數學與科學多領域，影響廿世紀數學甚鉅，被目為史上最後一位數學通才。


Poincaré 家族顯赫，堂弟 Raymond Poincaré 是多任的法國總理，而且是帶領法國渡過第一次世界大戰的總統。不過當英國數學家與哲學家 Russell 被問及當代法國偉人時，他所回答的 Poincaré 卻是超越時代，在學術上驚才絕豔的 Henri。

Poincaré 從小在各種學科都表現優秀，在數學上更是被稱為「怪物」的資優生。19歲進入綜合工科學校（蒫ole Polytechnique），數學表現遙遙領先同儕。不過由於他小時感染白喉，加上先天肌肉運作不很協調，他在體育、美術、音樂上的表現就相當差勁。更令人驚訝的是他的視力很差，因此上課完全靠聽力來進行，幸好他有著非凡的記憶力與驚人的空間直覺，在知識的掌握與學習上反而另闢蹊徑，以他獨特的「內在之眼」見人之所未見。


1875年他畢業後，進入礦業學校（蒫ole des Mines）立志成為工程師，但是他的數學天分，還是讓他走回數學的道路。1879年，他在 Hermite 指導下，在巴黎大學取得博士學位，隨即應聘到 Caen 大學教書。1881年，他27歲時轉到巴黎大學任教，一直到他過世。


Poincaré 的數學工作跨越相當多領域，大略綜述如下：


自守函數（automorphic function）：
Poincare 早期最主要的工作集中在自守函數的研究，其中牽涉到複變、微分方程、黎曼面、群論的知識。這個主要由他所開拓的領域（還有 Klein），涵蓋了十九世紀最重要的數學課題之一──橢圓函數論。運用其中的 Fuch 函數，可以求得高次多項式的公式解。有趣的是，他命名為 Fuchs 函數的這類函數，被德國數學家 Klein 指出他已經研究過了。於是 Poincaré 幽默地將另一類 Klein 從未涉及的自守函數，命名為 Klein 函數。

動力系統 (dynamical system) 與渾沌 (chaos) 的預見：
1887年瑞典國王 Oskar 二世懸賞徵答，以解決天體力學中的 n 體問題。Poincaré 以他在三體問題的研究，獲得大獎，但是他的內容有誤，一直到1890年修訂版才問世。這個重要的錯誤，導致 Poincaré 以定性而非定量的方式重新探討這個艱難的問題，並開啟了廿世紀動力系統定性理論的先河。近日流行的渾沌理論，雖然另有起源，但是其數學理論則為動力系統的一支，許多 Poincaré 使用的詞彙（如 stability、cyclic solution、Poincaré map、homoclinic point 等……），今日都已經成為標準用法。

另外，Poincaré 在天體力學的成就，總結在他《天體力學方法》（Les methodes nouvelles de la mecanique celeste, 1892-1899）三冊，《天體力學講義》（Legous de mecanique celeste, 1905-1910）三冊，他的傳記作者及數學家 Darboux，稱讚前者繼 Laplace《天體力學》後，為整個領域開拓了一個新紀元。


代數拓樸的催生：
由於自守函數與 n 體問題的研究，Poincaré 心中開始醞釀它們恰當的幾何基礎，1895年他出版《位相分析》(Analysis situs) 正式為代數拓樸吹起號角，提出基本群 (fundamental group)、同調群 (homology group)、Poincaré 對偶性質(Poincaré duality)、三角分割 (triangulation) 等新觀念，此後40年間代數拓樸的蓬勃發展，幾乎都是以 Poincaré的工作與構想為基礎。一直到今日，所謂
三維 Poincaré 猜測：
若一三維連通緊緻無邊流形之基本群為 1，則它必為圓球。
仍然是幾何領域最具挑戰性的猜測（更高維的 Poincaré 猜測，已經被 Smale 與 Freedman 解決，他們並都因此榮獲費爾茲獎）。

其他工作：
Poincaré 至少還催生了多複變函數論的領域；機率論的遍歷性假設（應用到統計力學）；在代數幾何的代數曲線方面，澄清義大利學派的迷團；研究數論裡丟番圖問題的有理點；流體力學中旋轉流體之平衡解（之後應用到天體演化之宇宙學）；由於研究電子運動，他得到許多與愛因斯坦狹義相對論相同的結果，（只是 Poincaré 還受限於舊以太介質的觀念）；另外他在物理及其他科學領域也有許多成果，這種非凡的成就讓他成為法國科學院唯一橫跨所有分組──幾何，力學，物理，地學與航海學的院士。
Poincaré 是一個相當獨立的數學家，終身沒有一個學生。他的數學行文也經常因為略帶混淆卻又規模宏大而引人詬病，Dieudonne 就曾經埋怨說，因為 Poincaré《位相分析》的不清不楚，使它在數學發展上延宕太久。


行有餘力的 Poincaré，為公眾所寫的科學普及文章卻是異常流利，他的三本科學哲學著作結集《科學與假說》(1901)，《科學的價值》(1905) 和《科學與方法》(1908)，十分暢銷並被譯成多種文字流傳，他還因為著作的文學成就而獲選為法蘭西學院 (Académie fran鏰ise) 院士（法國文人作家的最高榮譽）。


在這些書中，可以看到 Poincaré 的數學思想。他嘲諷 Frege、Russell 的邏輯主義思想，也不喜歡 Hilbert 的形式主義思想，大力強調在數學研究中，邏輯雖是必要的驗證工具，但卻只有依賴我們的直覺，才能發明或確認可靠而正確的數學對象或觀念。就這點而言，他是後來直覺主義的先驅者。


另外他在科學哲學中的「約定論」(conventionalism)，也讓他這位純數學家始終在廿世紀科學哲學論辯中不曾缺席（另一位是 G鰀el），尤其近日「科技研究」(science study) 強調科學知識中的權力因素，Poincaré 的想法，又多少重新受到注目。

本文參考資料：（1）大英百科全書；（2）MacTutor數學史檔案網站 ；（3）Bell, E.T. 《大數學家》，九章出版社；（4）《Dictionary of Scientist》， Oxford University Press


Jules Henri Poincaré

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Born: 29 April 1854 in Nancy, Lorraine, France
Died: 17 July 1912 in Paris, France

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Henri Poincaré&#39;s father was Léon Poincaré and his mother was Eugénie Launois. They were 26 and 24 years of age, respectively, at the time of Henri&#39;s birth. Henri was born in Nancy where his father was Professor of Medicine at the University. Léon Poincaré&#39;s family produced other men of great distinction during Henri&#39;s lifetime. Raymond Poincaré, who was prime minister of France several times and president of the French Republic during World War I, was the elder son of Léon Poincaré&#39;s brother Antoine Poincaré. The second of Antoine Poincaré&#39;s sons, Lucien Poincaré, achieved high rank in university administration.

Henri was [2]:-

... ambidextrous and was nearsighted; during his childhood he had poor muscular coordination and was seriously ill for a time with diphtheria. He received special instruction from his gifted mother and excelled in written composition while still in elementary school.

In 1862 Henri entered the Lycée in Nancy (now renamed the Lycée Henri Poincaré in his honour). He spent eleven years at the Lycée and during this time he proved to be one of the top students in every topic he studied. Henri was described by his mathematics teacher as a "monster of mathematics" and he won first prizes in the concours général, a competition between the top pupils from all the Lycées across France.

Poincaré entered the 蒫ole Polytechnique in 1873, graduating in 1875. He was well ahead of all the other students in mathematics but, perhaps not surprisingly given his poor coordination, performed no better than average in physical exercise and in art. Music was another of his interests but, although he enjoyed listening to it, his attempts to learn the piano while he was at the 蒫ole Polytechnique were not successful. Poincaré read widely, beginning with popular science writings and progressing to more advanced texts. His memory was remarkable and he retained much from all the texts he read but not in the manner of learning by rote, rather by linking the ideas he was assimilating particularly in a visual way. His ability to visualise what he heard proved particularly useful when he attended lectures since his eyesight was so poor that he could not see the symbols properly that his lecturers were writing on the blackboard.

After graduating from the 蒫ole Polytechnique, Poincaré continued his studies at the 蒫ole des Mines. His [21]:-

... meticulous notes taken on field trips while a student there exhibit a deep knowledge of the scientific and commercial methods of the mining industry; a subject that interested him throughout his life.

After completing his studies at the 蒫ole des Mines Poincaré spent a short while as a mining engineer at Vesoul while completing his doctoral work. As a student of Charles Hermite, Poincaré received his doctorate in mathematics from the University of Paris in 1879. His thesis was on differential equations and the examiners were somewhat critical of the work. They praised the results near the beginning of the work but then reported that the (see for example [21]):-

... remainder of the thesis is a little confused and shows that the author was still unable to express his ideas in a clear and simple manner. Nevertheless, considering the great difficulty of the subject and the talent demonstrated, the faculty recommends that M Poincaré be granted the degree of Doctor with all privileges.

Immediately after receiving his doctorate, Poincaré was appointed to teach mathematical analysis at the University of Caen. Reports of his teaching at Caen were not wholly complimentary, referring to his sometimes disorganised lecturing style. He was to remain there for only two years before being appointed to a chair in the Faculty of Science in Paris in 1881. In 1886 Poincaré was nominated for the chair of mathematical physics and probability at the Sorbonne. The intervention and the support of Hermite was to ensure that Poincaré was appointed to the chair and he also was appointed to a chair at the 蒫ole Polytechnique. In his lecture courses to students in Paris [2]:-

... changing his lectures every year, he would review optics, electricity, the equilibrium of fluid masses, the mathematics of electricity, astronomy, thermodynamics, light, and probability.

Poincaré held these chairs in Paris until his death at the early age of 58.

Before looking briefly at the many contributions that Poincaré made to mathematics and to other sciences, we should say a little about his way of thinking and working. He is considered as one of the great geniuses of all time and there are two very significant sources which study his thought processes. One is a lecture which Poincaré gave to l&#39;Institute Général Psychologique in Paris in 1908 entitled Mathematical invention in which he looked at his own thought processes which led to his major mathematical discoveries. The other is the book [30] by Toulouse who was the director of the Psychology Laboratory of l&#39;蒫ole des Hautes 蓆udes in Paris. Although published in 1910 the book recounts conversations with Poincaré and tests on him which Toulouse carried out in 1897.

In [30] Toulouse explains that Poincaré kept very precise working hours. He undertook mathematical research for four hours a day, between 10 am and noon then again from 5 pm to 7 pm. He would read articles in journals later in the evening. An interesting aspect of Poincaré&#39;s work is that he tended to develop his results from first principles. For many mathematicians there is a building process with more and more being built on top of the previous work. This was not the way that Poincaré worked and not only his research, but also his lectures and books, were all developed carefully from basics. Perhaps most remarkable of all is the description by Toulouse in [30] of how Poincaré went about writing a paper. Poincaré:-

... does not make an overall plan when he writes a paper. He will normally start without knowing where it will end. ... Starting is usually easy. Then the work seems to lead him on without him making a wilful effort. At that stage it is difficult to distract him. When he searches, he often writes a formula automatically to awaken some association of ideas. If beginning is painful, Poincaré does not persist but abandons the work.

Toulouse then goes on to describe how Poincaré expected the crucial ideas to come to him when he stopped concentrating on the problem:-

Poincaré proceeds by sudden blows, taking up and abandoning a subject. During intervals he assumes ... that his unconscious continues the work of reflection. Stopping the work is difficult if there is not a sufficiently strong distraction, especially when he judges that it is not complete ... For this reason Poincaré never does any important work in the evening in order not to trouble his sleep.

As Miller notes in [21]:-

Incredibly, he could work through page after page of detailed calculations, be it of the most abstract mathematical sort or pure number calculations, as he often did in physics, hardly ever crossing anything out.

Let us examine some of the discoveries that Poincaré made with this method of working. Poincaré was a scientist preoccupied by many aspects of mathematics, physics and philosophy, and he is often described as the last universalist in mathematics. He made contributions to numerous branches of mathematics, celestial mechanics, fluid mechanics, the special theory of relativity and the philosophy of science. Much of his research involved interactions between different mathematical topics and his broad understanding of the whole spectrum of knowledge allowed him to attack problems from many different angles.

Before the age of 30 he developed the concept of automorphic functions which are functions of one complex variable invariant under a group of transformations characterised algebraically by ratios of linear terms. The idea was to come in an indirect way from the work of his doctoral thesis on differential equations. His results applied only to restricted classes of functions and Poincaré wanted to generalise these results but, as a route towards this, he looked for a class functions where solutions did not exist. This led him to functions he named Fuchsian functions after Lazarus Fuchs but were later named automorphic functions. The crucial idea came to him as he was about to get onto a bus, as he relates in Science and Method (1908):-

At the moment when I put my foot on the step the idea came to me, without anything in my former thoughts seeming to have paved the way for it, that the transformation that I had used to define the Fuchsian functions were identical with those of non-euclidean geometry.

In a correspondence between Klein and Poincaré many deep ideas were exchanged and the development of the theory of automorphic functions greatly benefited. However, the two great mathematicians did not remain on good terms, Klein seeming to become upset by Poincaré&#39;s high opinions of Fuchs&#39; work. Rowe examines this correspondence in [149].

Poincaré&#39;s Analysis situs , published in 1895, is an early systematic treatment of topology. He can be said to have been the originator of algebraic topology and, in 1901, he claimed that his researches in many different areas such as differential equations and multiple integrals had all led him to topology. For 40 years after Poincaré published the first of his six papers on algebraic topology in 1894, essentially all of the ideas and techniques in the subject were based on his work. Even today the Poincaré conjecture remains as one of the most baffling and challenging unsolved problems in algebraic topology.

Homotopy theory reduces topological questions to algebra by associating with topological spaces various groups which are algebraic invariants. Poincaré introduced the fundamental group (or first homotopy group) in his paper of 1894 to distinguish different categories of 2-dimensional surfaces. He was able to show that any 2-dimensional surface having the same fundamental group as the 2-dimensional surface of a sphere is topologically equivalent to a sphere. He conjectured that this result held for 3-dimensional manifolds and this was later extended to higher dimensions. Surprisingly proofs are known for the equivalent of Poincaré&#39;s conjecture for all dimensions strictly greater than three. No complete classification scheme for 3-manifolds is known so there is no list of possible manifolds that can be checked to verify that they all have different homotopy groups.

Poincaré is also considered the originator of the theory of analytic functions of several complex variables. He began his contributions to this topic in 1883 with a paper in which he used the Dirichlet principle to prove that a meromorphic function of two complex variables is a quotient of two entire functions. He also worked in algebraic geometry making fundamental contributions in papers written in 1910-11. He examined algebraic curves on an algebraic surface F(x, y, z) = 0 and developed methods which enabled him to give easy proofs of deep results due to Emile Picard and Severi. He gave the first correct proof of a result stated by Castelnuovo, Enriques and Severi, these authors having suggested a false method of proof.

His first major contribution to number theory was made in 1901 with work on [1]:-

... the Diophantine problem of finding the points with rational coordinates on a curve f(x, y) = 0, where the coefficients of f are rational numbers.

In applied mathematics he studied optics, electricity, telegraphy, capillarity, elasticity, thermodynamics, potential theory, quantum theory, theory of relativity and cosmology. In the field of celestial mechanics he studied the three-body-problem, and the theories of light and of electromagnetic waves. He is acknowledged as a co-discoverer, with Albert Einstein and Hendrik Lorentz, of the special theory of relativity. We should describe in a little more detail Poincaré&#39;s important work on the 3-body problem.

Oscar II, King of Sweden and Norway, initiated a mathematical competition in 1887 to celebrate his sixtieth birthday in 1889. Poincaré was awarded the prize for a memoir he submitted on the 3-body problem in celestial mechanics. In this memoir Poincaré gave the first description of homoclinic points, gave the first mathematical description of chaotic motion, and was the first to make major use of the idea of invariant integrals. However, when the memoir was about to be published in Acta Mathematica, Phragmen, who was editing the memoir for publication, found an error. Poincaré realised that indeed he had made an error and Mittag-Leffler made strenuous efforts to prevent the publication of the incorrect version of the memoir. Between March 1887 and July 1890 Poincaré and Mittag-Leffler exchanged fifty letters mainly relating to the Birthday Competition, the first of these by Poincaré telling Mittag-Leffler that he intended to submit an entry, and of course the later of the 50 letters discuss the problem concerning the error. It is interesting that this error is now regarded as marking the birth of chaos theory. A revised version of Poincaré&#39;s memoir appeared in 1890.

Poincaré&#39;s other major works on celestial mechanics include Les Méthodes nouvelles de la mécanique céleste in three volumes published between 1892 and 1899 and Le鏾ns de mecanique céleste (1905). In the first of these he aimed to completely characterise all motions of mechanical systems, invoking an analogy with fluid flow. He also showed that series expansions previously used in studying the 3-body problem were convergent, but not in general uniformly convergent, so putting in doubt the stability proofs of Lagrange and Laplace.

He also wrote many popular scientific articles at a time when science was not a popular topic with the general public in France. As Whitrow writes in [2]:-

After Poincaré achieved prominence as a mathematician, he turned his superb literary gifts to the challenge of describing for the general public the meaning and importance of science and mathematics.

Poincaré&#39;s popular works include Science and Hypothesis (1901), The Value of Science (1905), and Science and Method (1908). A quote from these writings is particularly relevant to this archive on the history of mathematics. In 1908 he wrote:-

The true method of foreseeing the future of mathematics is to study its history and its actual state.

Finally we look at Poincaré&#39;s contributions to the philosophy of mathematics and science. The first point to make is the way that Poincaré saw logic and intuition as playing a part in mathematical discovery. He wrote in Mathematical definitions in education (1904):-

It is by logic we prove, it is by intuition that we invent.

In a later article Poincaré emphasised the point again in the following way:-

Logic, therefore, remains barren unless fertilised by intuition.

McLarty [119] gives examples to show that Poincaré did not take the trouble to be rigorous. The success of his approach to mathematics lay in his passionate intuition. However intuition for Poincaré was not something he used when he could not find a logical proof. Rather he believed that formal arguments may reveal the mistakes of intuition and logical argument is the only means to confirm insights. Poincaré believed that formal proof alone cannot lead to knowledge. This will only follow from mathematical reasoning containing content and not just formal argument.

It is reasonable to ask what Poincaré meant by "intuition". This is not straightforward, since he saw it as something rather different in his work in physics to his work in mathematics. In physics he saw intuition as encapsulating mathematically what his senses told him of the world. But to explain what "intuition" was in mathematics, Poincaré fell back on saying it was the part which did not follow by logic:-

... to make geometry ... something other than pure logic is necessary. To describe this "something" we have no word other than intuition.

The same point is made again by Poincaré when he wrote a review of Hilbert&#39;s Foundations of geometry (1902):-

The logical point of view alone appears to interest [Hilbert]. Being given a sequence of propositions, he finds that all follow logically from the first. With the foundations of this first proposition, with its psychological origin, he does not concern himself.

We should not give the impression that the review was negative, however, for Poincaré was very positive about this work by Hilbert. In [181] Stump explores the meaning of intuition for Poincaré and the difference between its mathematically acceptable and unacceptable forms.

Poincaré believed that one could choose either euclidean or non-euclidean geometry as the geometry of physical space. He believed that because the two geometries were topologically equivalent then one could translate properties of one to the other, so neither is correct or false. for this reason he argued that euclidean geometry would always be preferred by physicists. This, however, has not proved to be correct and experimental evidence now shows clearly that physical space is not euclidean.

Poincaré was absolutely correct, however, in his criticism that those like Russell who wished to axiomatise mathematics were doomed to failure. The principle of mathematical induction, claimed Poincaré, cannot be logically deduced. He also claimed that arithmetic could never be proved consistent if one defined arithmetic by a system of axioms as Hilbert had done. These claims of Poincaré were eventually shown to be correct.

We should note that, despite his great influence on the mathematics of his time, Poincaré never founded his own school since he did not have any students. Although his contemporaries used his results they seldom used his techniques.

Poincaré achieved the highest honours for his contributions of true genius. He was elected to the Académie des Sciences in 1887 and in 1906 was elected President of the Academy. The breadth of his research led to him being the only member elected to every one of the five sections of the Academy, namely the geometry, mechanics, physics, geography and navigation sections. In 1908 he was elected to the Académie Francaise and was elected director in the year of his death. He was also made chevalier of the Légion d&#39;Honneur and was honoured by a large number of learned societies around the world. He won numerous prizes, medals and awards.

Poincaré was only 58 years of age when he died [3]:-

M Henri Poincaré, although the majority of his friends were unaware of it, recently underwent an operation in a nursing home. He seemed to have made a good recovery, and was about to drive out for the first time this morning. He died suddenly while dressing.

His funeral was attended by many important people in science and politics [3]:-

The President of the Senate and most of the members of the Ministry were present, and there were delegations from the French Academy, the Académie des Sciences, the Sorbonne, and many other public institutions. The Prince of Monaco was present, the Bey of Tunis was represented by his two sons, and Prince Roland Bonaparte attended as President of the Paris Geographical Society. The Royal Society was represented by its secretary, Sir Joseph Larmor, and by the Astronomer Royal, Mr F W Dyson.

Let us end with a quotation from an address at the funeral:-

[M Poincaré was] a mathematician, geometer, philosopher, and man of letters, who was a kind of poet of the infinite, a kind of bard of science.

anatoli

References for Henri Poincaré

1.   Biography in Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990).
2.   Biography in Encyclopaedia Britannica.
3.   Obituary in The Times [available on the Web]
Books:
4.   P Appell, Henri Poincaré (Paris, 1925).
5.   J Barrow-Green, Poincaré and the three body problem (London, 1997).
6.   A Bellivier, Henri Poincaré, ou la vocation souveraine. Vocations, IV (Paris, 1956).
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8.   F E Browder, (ed.), The mathematical heritage of Henri Poincaré. Part 2 (Providence, R.I., 1983).
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qiuguhan

　　法国人庞加莱（Henri Poincaré）被称为“最后一位数学全才”，在他留下的巨大科学遗产中，有一个属于代数拓扑学中带有基本意义的命题，这就是困扰了数学家整整一个世纪的“庞加莱猜想”。

　　庞加莱是在1904年发表的一组论文中提出这一猜想的：“单连通的三维闭流形同胚于三维球面。”它后来被推广为：“任何与n维球面同伦的n维闭流形必定同胚于n维球面。”我们不妨借助二维的例子做一个粗浅的比喻：一个无孔的橡胶膜相当于拓扑学中的二维闭曲面，而一个吹涨的气球则可以视为二维球面，二者之间的点存在着一一对应的关系，同时橡胶膜上相邻的点仍是吹涨气球上相邻的点，反之亦然。有趣的是，这一猜想的高维推论已于上个世纪60年代和80年代分别得到解决，唯独三维的情况仍然像只拦路虎一样趴在那里，向世界上最优秀的拓扑学家发出挑战。

　　代数拓扑是当今数学最具活力的领域之一，对“庞加莱猜想”的证明及其带来的后果将会加深数学家对流形性质的认识，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响，而这一猜想的陈述又是那样的简洁和明朗，因此设在波士顿的克莱数学研究所于2000年将它列为“七大千年难题”之一，并悬赏100万美金奖励这一猜想的证明者。也正因为如此，当美国媒体和互联网上关于这一猜想可能已被证明的消息传播开来之时，在整个数学界引起的轰动就可想而知了。

　　对此猜想作出重要贡献的是一位来自俄罗斯的中年数学家格里高利·佩雷尔曼（Grigory Perelman）。他是圣彼得堡斯捷克洛夫数学研究所的研究员，在过去10年中一直致力于微分几何与代数拓扑的研究。2002年11月，佩雷尔曼通过互联网公布了一个研究报告，声称证明了由美国数学家瑟斯顿（William P. Thurston）在25年前提出的有关三维流形的“几何化猜想”，而“庞加莱猜想”正是后者的一个特例。由于每隔数年就会冒出一个新的“证明”随后又被推翻，因此数学界对此类报告一向是非常谨慎的。四个月后佩雷尔曼又在网上公布了第二份报告，介绍了证明的更多细节。同时他也通过电子邮件与该领域的少数专家进行交流。

　　2003年4月，应华裔数学家田刚的邀请，佩雷尔曼在麻省理工学院作了三场演讲，结果大获成功。他似乎对所有问题和质疑都有准备——或者流利地应答，或者指出其属枝节末流。听过演讲的专业人士认为他的工作是极富创造性的，“即使证明有误，他也发展了一些工具和思想，足以导致对‘几何化猜想?的精致处理，其中有极为振奋人心的东西”，克莱研究所所长卡尔森（Jim Carlson）如是说。

　　数天后的4月15日，《纽约时报》首次以“俄国人报告，著名的数学问题解决了”为题向公众披露了这一消息。同日有影响的数学网站MathWorld刊出的头条文章为“庞加莱猜想被证明了，这一回是真的”。佩雷尔曼很快成了一个新闻人物，但他对此很不适应。两周后当他应邀在纽约大学柯朗研究所演讲时，报告厅里挤满了记者和慕名而来的非专业听众。佩雷尔曼演讲的热情大打折扣，他拒绝回答记者提出的“有何应用”的问题，并大声制止为他拍照的企图。对包括《自然》、《科学》这样声名显赫的杂志的电信采访他也不屑一顾。后来人们干脆找不到他了，连他在圣彼得堡的同事们都不知道他在哪里和在做什么。2003年年底在加州召开了两个以他的工作为主题的研讨会，他也没有到会。

　　佩雷尔曼不但生性腼腆，而且特立独行。大约10年前访问美国时，他的工作就曾引起人们的注意并因此得到在美国大学工作的机会，但是同他的许多有才华和机会的同胞相反，他很快返回俄国，过着几乎是隐士般的生活。“他需要的是数学，而不是奖赏、资金和职位”，这是今年1月刚出版的《自然》杂志（Nature 427）上一篇关于他的文章所用的提示语。

　　佩雷尔曼的证明目前正由几位有资格的专家进行严格的审查。田刚已经审读完第二篇报告的大部分，到目前为止还没有发现什么漏洞，他希望在今年夏天完成其余的部分。数学家们的系统审查则可能延续到2005年，到那时我们才能知道“庞加莱猜想”是否已经被证明了，以及佩雷尔曼是否会得到“千年大奖”。

曾燕环

以下内容是从别的网页转载过来，特此奉献给大家！同时让我们向那些工作在数学领域的人民（不仅仅是科学家）致以崇高的敬意！

数学难题研读



克莱数学研究所征解的七个数学问题 (CMI Seven Millennium Prize Problems)

二十一世纪到来之际，克莱数学研究所（The Clay Mathematics Institute of Cambridge, Massachusetts (CMI)）参照一百多年前德国数学家大卫希尔伯特的做法，于2000年5月24日在法国召开的千禧年年会上，公开征解七个数学问题的解答。这七个问题是由克莱数学研究所的科学顾问委员会精心挑选的，克莱数学研究所的董事会为每一个问题的解决提供了一百万美元的奖金。这些问题是（按照问题题目的英文字母顺序排列）[7个问题的说明]

1.     波奇和斯温纳顿-戴雅猜想(Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture)：对有理数域上的任一椭圆曲线, 其L函数在1的化零阶等于此曲线上有理点构成的Abel群的秩。

2.     霍奇猜想(Hodge Conjecture)：在非奇异复射影代数簇上, 任一霍奇类是代数闭链类的有理线性组合。

3.     纳威厄-斯托克斯方程(Navier-Stokes Equations)：证明或否定3-维奈维尔－斯托克斯方程解的存在性和光滑性(在合理的边界和初始条件下)。

4.     P与NP问题(P VS NP Problem)：有确定性多项式时间算法的问题类P是否等于有非确定性多项式时间算法的问题类NP。

5.     庞加莱猜想(Poincare Conjecture)：任意闭单连通3-流型同胚于3-球。

6.     黎曼假设(Riemann Hypothesis)：黎曼Zeta－函数的非平凡零点的实部都是1/2。

7.      杨-米尔理论(Yang-Mills Theory)：证明量子Yang?Mills场存在并存在一个质量间隙。

曾燕环

关于庞加莱


                       李醒民(中国科学院科技政策与管理科学研究所)

　　庞加莱，J． H．(Poincaré， Jules Henri)1854年4月29日生于法国南锡；1912年7月17日卒于巴黎．数学、物理学、天体力学、科学哲学．

　　庞加莱的父亲莱昂(Léon，Poincaré)是一位第一流的生理学家兼医生、南锡医科大学教授，母亲是一位善良、聪明的女性．庞加莱的叔父安托万(Antoine，Poincaré)曾任国家道路桥梁部的检查官．庞加莱的堂弟雷蒙(Raymond，Poincaré)曾于1911年、1922年、1928年几度组阁，出任总理兼外交部长．1913年1月至1920年初，担任法兰西第三共和国第九届总统．

　　庞加莱的童年是不幸的，也未表现出什么超人的天才．在幼儿时，他的运动神经共济官能就缺乏协调，写字画画都不好看．5岁时，白喉病把他折磨了9个月，从此就留下了喉头麻痹症．疾病使他长时期身体虚弱，缺乏自信．他无法和小伙伴作剧烈的游戏，只好另找乐趣，这就是读书．在这个广阔的天地里，他的天资通过家庭教育和自我锻炼逐渐显露出来．读书增强了他的空间记忆(视觉记忆)和时间记忆能力．他视力不好，上课看不清老师在黑板上写的东西，只好全凭耳朵听，这反倒增强了他的听觉记忆能力．这种“内在的眼睛”大大有益于他后来的工作，他能够在头脑中完成复杂的数学运算，他能够迅速写出一篇论文而无需大改．

　　15岁前后，奇妙的数学紧紧地扣住了庞加莱的心弦，他曾在没有记一页课堂笔记的情况下赢得了一次数学大奖．1873年底，庞加莱进入综合工科学校深造．1875年，他到国立高等矿业学校学习，打算做一名工程师，但一有闲空就钻研数学，并在微分方程一般解的问题上初露锋芒．1878年，他向法国科学院提交了关于这个课题的“异乎寻常”的论文，并于翌年8月1日得到数学博士学位．由于工程师的职业与他的志趣不相投，他又想做一个职业数学家．在得到博士学位后不久(1879年12月1日)，他应聘到卡昂大学作数学分析教师．两年后，他提升为巴黎大学教授，讲授力学和实验物理学等课程．除了在欧洲参加学术会议和1904年应邀到美国圣路易斯科学和技艺博览会讲演外，庞加莱一生的其余时间都是在巴黎度过的．

　　 庞加莱的写作时期开始于1878年，直至他1912年逝世——这正是他创造力的极盛时期．在不长的34年科学生涯中，他发表了将近500篇科学论文和30本科学专著，这些论著囊括了数学、物理学、天文学的许多分支，这还没有把他的科学哲学经典名著和科普作品计算在内．由于他的杰出贡献，他赢得了法国政府所能给予的一切荣誉，也受到英国、俄国、瑞典、匈牙利等国政府的奖赏．早在33岁那年，他就被选为法国科学院院士，1906年当选为院长；1908年，他被选为法兰西学院院士，这是法国科学家所能得到的最高荣誉．

　　庞加莱被认为是19世纪最后四分之一和本世纪初期的数学界的领袖人物，是对数学和它的应用具有全面了解、能够雄观全局的最后一位大师．他的研究和贡献涉及数学的各个分支，例如函数论、代数拓扑学、阿贝尔函数和代数几何学、数论、代数学、微分方程、数学基础、非欧几何、渐近级数、概率论等，当代数学不少研究课题都溯源于他的工作．

　　1．函数论．如果说18世纪是微分学的世纪，那么19世纪则是函数论的世纪．庞加莱是因发明自守函数而使函数论的世纪大放异彩的，他本人也因此在数学界崭露头角．

　　所谓自守函数，就是在某些变换群的变换下保持不变的函数．自守函数是圆函数、双曲函数、椭圆函数以及初等分析中其他函数的推广，它不仅对其他各种应用是重要的，而且在微分方程理论中也扮演着主要的角色．

　　自守函数的名称今天已用于包括那些在变换群z′=(az+ b)/(cz+d)或这个群的某些子群作用下的不变函数，其中a，b， c，d可以是实数或复数，而且ad-bc=1．此外，在复平面的任何有限部分上，这个群完全是不连续的．更一般的自守函数则是为研究二阶线性微分方

　　1880年以前，F．克莱因(Klein)在自守函数方面作了一些基本的工作，后来他在1881年至1882年与庞加莱合作．庞加莱在受到I．L．富克斯(Fuchs)有关工作的吸引而注意到这件事后，对这个课题已作了先行的工作．他以椭圆函数理论为指导，发明了一类新的自守函数，即他所谓的富克斯函数，这是比椭圆函数更为普遍的一类自守函数．后来，庞加莱把分式变换群扩充到复系数的情况，并考虑了这种群的几种类型，他把这种群叫克莱因群．对这些克莱因群，庞加莱得到了新的自守函数，即在克莱因群变换下不变的函数，庞加莱把它叫做克莱因函数．这些函数有类似于富克斯型函数的性质，但基本域比圆要复杂．此后，庞加莱指出如何借助于克莱因函数表示仅有正则奇点的代数系数的n阶线性方程的积分．这样，整个这类线性微分方程都可以用庞加莱的这些新的超越函数来解了．

　　自守函数理论只是庞加莱对于解析函数论的许多贡献之一，他的每项贡献都是拓广的理论的出发点．他在 1883年的一篇短文中首先研究整函数的格与其泰勒展开的系数或者函数的绝对值的增长率之间的关系，它与皮卡(E．Picard)定理结合在一起，通过J．阿达玛(Hadamard)和 E．波莱尔(Borel)的结果，导致了整函数和亚纯函数的庞大理论，这个理论在80年之后仍然尚未研究完．

　　自守函数提供了具有某种奇点的解析函数的头一批例子，它们的奇点构成非稠密的完备集或奇点的曲线．庞加莱给出另外一个一般方法构成这种类似的函数，即通过有理函数的级数，这导致后来被波莱尔和A．当儒瓦(Denjoy)所提出的单演函数理论．代数曲线的参考化定理也是自守函数论的一个结果，它促使庞加莱在1883年导出一般的“单值化定理”，这等价于存在由任意连通、非紧致黎曼面到复平面或开圆盘的共形映射．

　　尤其是，庞加莱是多复变解析函数的创始人，这理论在他之前实际并不存在．他得到的第一个结果是这样的定理：两个复变量的亚纯函数F是两个整函数的商．在1898年，他针对“多重调和函数”对于任意多复变函数进行了深入的研究，并在阿贝尔函数论中加以应用．他还在1907年指出了全新的问题，导出两个复变函数的“共形映射”概念的推广，这就是现在众所周知的、给人以深刻印象的解析流形的萌芽．庞加莱也对多复变函数的重积分的“残数”概念给出满意的推广，这是在其他数学家早期对这个问题作了多次尝试而揭示出严重困难之后进行的．多年后，他的思想在J．勒雷(Leray)的工作中产生了完满的结果．

　　2．代数拓扑学(组合拓扑学)．庞加莱最先系统而普遍地探讨了几何学图形的组合理论，人们公认他是代数拓扑学的奠基人．可以毫不夸张地说，庞加莱在这个课题上的贡献比在其他任何数学分支上的贡献都更为使他永垂不朽．

　　庞加莱先在1892年和1893年的科学院《通报》(Comptes Re－ndus)中发表了一些短文，然后于1895年发表了一篇基本性的论文，接着是一直到1904年在几种期刊上发表的五篇长的补充，这都是论述近代代数拓扑学的方法的．庞加莱认为，他在代数拓扑学方面的工作与其说是拓扑不变性的一种研究，不如说是研究n维几何的一种系统方法．我们现在称之为单形的同调论的一整套方法完全是庞加莱的发明创造：其中有流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关联系数矩阵等概念以及从该矩阵计算贝蒂(E．Betti)数的方法．籍助这些方法，庞加莱发现欧拉多面体定理的推广(现在称之为欧拉-庞加莱公式)以及关于流形的同调的著名的对偶定理；稍后他引进了挠率的概念．在这些论文中，他还定义了基本群(第一个同伦群)并证明它与一维贝蒂数的关系，给出两个流形具有相同的同调但具有不同的基本群的例子，他还把贝蒂数和微分形式的积分联系在一起，叙述了G．德拉姆(de Rham)直到1931年才证明了的定理．有人这样正确地说过：直到1933年发现高阶同伦群之前，代数拓扑学的发展完全基于庞加莱的思想和方法．

　　此外，庞加莱还指出如何把这些新工具用于那些促使发现它们的问题．在两篇论文中，他定出了复代数曲面的贝蒂数，以及形如Z2=F(x，y)(F是多项式)的方程定义的曲面的基本群，从而为后来S．莱夫谢茨(Lefschetz)和W．V．D．霍奇(Hodge)的推广铺平了道路．

　　3．阿贝尔函数和代数几何学．当庞加莱一接触到G．F．B．黎曼(Riemann)和K．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)关于阿贝尔函数和代数几何学的工作之后，他立即对这个领域发生了浓厚的兴趣．他在这个课题上论文的篇幅在他的全集里和自守函数的论文篇幅差不多，时间是从1881年到1911年．这些文章的主要思想之一是关于阿贝尔函数的“约化”．庞加莱把J．雅可比、魏尔斯特拉斯和皮卡研究过的特殊情形加以推广，证明了一般的“完全可约性定理”．并注意到对应于可约的簇的阿贝尔函数，这是推广某些已有结果和研究某些函数特殊性质的出发点．

　　庞加莱在代数几何学方面的最突出贡献是他在1910年至1911年间关于代数曲面F(x，y，z)=0中所包含的代数曲线的几篇论文．他所运用的卓有成效的方法使他证明了皮卡和F．塞韦里(Severi)的深刻结果，并首次正确地证明了由G．卡斯特尔诺沃(Castelnuovo)、F．恩里格斯(Enriques)所陈述的著名定理．在其他问题上，他的方法也极有价值，看来它的有效性还远远没有穷尽．

　　4．数论．在这个领域，庞加莱首次给出整系数型的亏格的一般定义．他的最后一篇数论论文(1901年)最有影响，是我们现在所谓的“有理数域上的代数几何学”的头一篇论文．这篇论文的主题是个丢番图(Diophantus)问题，即求一条曲线f(x，y)=0上具有有理数坐标的点，其中f的系数是有理数．庞加莱定义了曲线的“秩数”，并猜想秩数是有限的．这个基本事实由L．J．莫德尔(Mardell)在1922年予以证明，并由A．韦伊(Weil)推广到任意亏格的曲线(1929年)．他们用的是“无限下降法”，这基于椭圆(或阿贝尔)函数的半分性质；庞加莱在他的文章中发展了一种与椭圆函数的三分性质有关的类似的计算，这些思想似乎是莫德尔证明的出发点．莫德尔-韦依定理在丢番图方程论中已成为基本的定理，但是与庞加莱引入“秩数”概念的许多问题仍然尚未得到解答，更深入地钻研他的论文也许会导出新的结果．

　　5．代数学．庞加莱从未出于代数学本身的需要而去研究代数学，只是当在算术或分析问题中需要代数结果时才去研究它．例如，他关于型的算术理论的工作使他研究次数≥3的型，其上作用着连续自同构群．与此有关，他注意到超复系和由超复系的可逆元素乘法定义的连续群之间的关系；他在1884年就这个问题所发表的短文后来引起E．施图迪(Study)和E．嘉当(Cartan)关于超复系的文章．庞加莱在1903年关于线性微分方程的代数积分的文章又回到交换代数的研究上来．他的方法使他引进一个方程的群代数，并把它分解为C上的单代数(即方阵代数)．他首次把左理想和右理想的概念引入代数，并证明方阵代数中的任何左理想是极小左理想的直和．

　　庞加莱是当时能够理解并欣赏S．李(Lie)及其后继者关于“连续群”工作的少数数学家之一，尤其是，他是早在20世纪初就能认识到嘉当论文的深度和广度的唯一数学家．1899年，庞加莱对于用新方法证明李的第三基本定理以及现在所谓的坎贝尔(Campbeel)-豪斯多夫(Hausdorff)公式感兴趣；他实际上第一次定义了现在所说的(复数域上的)李代数的“包络代数”，并由李代数已给的基对包络代数的“自然的”基加以描述，这个定理在近代李代数理论中成为基本的定理．

　　6．微分方程．微分方程及其在动力学上的应用显然处于庞加莱数学思想的中心地位，他从各种可能的角度研究这个问题，他把分析中的全套工具应用到微分方程理论中．几乎每年都要就此发表论文．事实上，整个自守函数理论一开始就是由求积具有代数系数的线性微分方程的思想引起的．他同时研究了一个线性微分方程在一个“非正则”奇点的邻域中的局部问题，首次证明了怎样得到积分渐进展开．他还研究了如何决定(复数域中)所有一阶微分方程关于y和y′是代数的且有固点的奇点，这后来被皮卡推广到二阶方程，并在20世纪初期导致P．潘勒韦(Painlevé)及其学派的成果．

　　庞加莱在这个领域中的最杰出贡献是微分方程定性理论，它是在其创造者手中立即臻于完善的．他发现在分析微分方程可能解的类型时，奇点起着关键性的作用．他把奇点分为四类——焦点、鞍点、结点和中心，并阐述了解在这些点附近的性态．在1885年后，他关于微分方程的论文大都涉及到天体力学，特别是三体问题．

　　对于物理学问题的持久兴趣肯定把庞加莱引向数学物理学的偏微分方程所导出的数学问题，在这方面他从未忽略他所用的方法和他所得到的结果可能存在的物理意义．他在1890年的一篇文章中讨论了狄利克雷(Dirichlet)问题，发明了“扫散方法”，这种极其富于独创性的方法在20世纪20年代和30年代出现的位势理论上起着重要作用．

　　此外，庞加莱还在非欧几何、渐近级数、概率论(例如，他最先使用了“遍历性”的概念，这成为统计力学的基础)等数学分支中也有所建树．庞加莱在物理学、天体力学、科学哲学方面的工作请见《世界著名科学家传记·物理学家Ⅰ》．——编者注.


　　1911年，庞加莱觉得身体不适、精力减退，他预感到自己活在世上的日子不会很长了．可是，他不愿放下手头的工作去休息，他头脑蕴育的新思想太多了，他不愿让它们和自己一起埋葬．在索尔维会议之后，他投身于量子论的研究，并撰写论文，发表讲演．同时，他还在思考一个新的数学定理，即把狭义三体问题的周期解的存在问题归结为平面的连续变换在某些条件下不动点的存在问题．

　　临终前三周，庞加莱抱病在法国道德教育联盟成立大会上发表了最后一次公开讲演．他说：“人生就是持续的斗争”，“如果我们偶尔享受到相对的宁静，那正是因为我们先辈顽强斗争的结果．假使我们的精力、我们的警惕松懈片刻，我们就会失去先辈们为我们赢得的斗争成果．”庞加莱本人的一生就是持续斗争、永远进击的一生．

　　1912年7月17日，庞加莱因血管栓塞突然去世．当时他正处在科学创造的高峰时期．V．沃尔泰拉(Volterra)中肯地评论道：“我们确信，庞加莱一生中没有片刻的休息．他永远是一位朝气蓬勃的、健全的战士，直至他的逝世．”

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庞加莱，1913年版"最后的想法"("Last Thoughts")封面照片

生平
庞加莱生于1854年4月29日在法国南锡的Cité Ducale附近的一个有影响力的家庭(Belliver, 1956年)。其父里昂·庞加莱(1828-1892)是南锡大学的医学教授(Sagaret, 1911)。他的妹妹Aline嫁给了精神哲学家Emile Boutroux。庞加莱家庭的另一个著名成员是他的堂兄雷蒙德·庞加莱，他在1913年至1920年出任法国总统，也是法国科学院院士。


教育
童年时期，他曾有一段时间受支气管炎折磨，于是接受了他有天赋的母亲Eugénie Launois (1830-1897)的特别教导。他擅长书面作文。

1862年，庞加莱进入南锡学校(现在改名为庞加莱学校，就像南锡大学一样)。他在南锡学校呆了11年，每门功课都是优秀生。他的数学老师将他描述为"数学怪兽"，他在法国学校的顶级学生中举行的竞赛开放式竞赛中赢得了几次一等奖。(他最差的功课是音乐和体育，那些功课上他被称为"最多中等"(O&#39;Connor等人, 2002年)。但是，视力不佳和经常心不在焉可以解释这些困难(Carl, 1968年)。1871年他从学校毕业拿到理科学位。

1873年，庞加莱进入法国综合理工大学(蒫ole Polytechnique)。他在那里学习数学，师从厄尔米特，成绩依然优秀，并于1874年发表了第一篇论文(Démonstration nouvelle des propriétés de l&#39;indicatrice d&#39;une surface)。他毕业于1875年或1876年。然后继续求学于南锡矿业学校,在学习矿业工程课程的同时继续学习数学并于1879年取得普通工程师学位。

作为矿业大学的毕业生，他进入法国矿业团(Corps des Mines),作为法国东北的Vesoul地区的一名审查员。1879年8月Magny矿难发生时他在场，当时18名矿工死亡。他以富有他的特点的全面和人道的方式对事故进行了正式调查。

与此同时，庞加莱正在厄尔米特的指导下准备他的数学理科博士学位。他的博士论文属于微分方程领域。庞加莱设计了一种研究这些函数属性的新方法。他不仅面对决定这些方程的积分的问题，也是第一个研究它们的普遍几何属性的人。他意识到它们可以用于太阳系内自由运动的多体的行为的建模。庞加莱于1879年从巴黎大学毕业。

Image:Young Poincare.jpg
年轻的亨利·庞加莱
事业早期
不久，他得到了Caen大学数学初级讲师的职位的邀请。但是他从未为了数学完全放弃他的矿业职业。他在1881至1885年间作为工程师在公共事业部工作，负责北方铁路的发展。他最终于1893年成为矿业军团首席工程师，并在1910年成为总监。

从1881年开始并终其职业生涯，他在巴黎大学任教(索尔本(Sorbonne))。他最初被任命为ma顃re de conférences d&#39;analyse (负责分析会议的教授) (Sageret, 1911年)。最后，他是物理和实验力学，数学物理和概率论，以及天体力学和天文学的主席。

同年，庞加莱和Poulain d&#39;Andecy小姐成婚。他们共有4个孩子: Jeanne (生于1887年), Yvonne (生于1889年), Henriette (生于1891年), 以及 Léon (生于1893年).


三体问题
在1887年,为了祝贺他的60岁寿诞，瑞典国王奥斯卡二世赞助了一项现金奖励的竞赛，征求太阳系的稳定性问题的解答，这是三体问题的一个变种。虽然庞加莱没有成功给出一个完整的解答，他的工作令人印象深刻，以至于他还是在1888年赢得了奖金。庞加莱发现这个系统的演变经常是浑沌的，意思是说如果初始状态有一个小的扰动，例如一个体的初始位置有一个小的变动，则后来的状态可能会有极大的不同。如果该小变动不能被我们的测量仪器所探测，则我们不能预测最终状态为何。裁判之一，著名的卡尔·韦尔斯特拉斯说，"这个工作不能真正视为对所求的问题的完善解答，但是它的重要性使得它的出版将标志着天体力学的一个新时代的诞生。"

韦尔斯特拉斯并不知道他自己的预测有多准确。在庞加莱的论文中，他描述了例如同宿点(homoclinic points)之类的新思想。这个备忘录会在Acta Mathematica中出版，编辑找到一个错误。该错误实际上导致了庞加莱一些进一步的发现，它们现在被视为混沌理论的开端。该备忘录出版于1890年晚些时候。

还是在1887年，在32岁这个年轻的年龄，庞加莱被选为法国科学院(French Academy of Sciences)院士。他在1906年成为其院长，并于1909年入选法国学院(Académie fran鏰ise)。


相对论方面的工作


玛丽·居里和庞加莱在1911年索尔维会议上讨论。

玛丽·居里和庞加莱在1911年索尔维会议上讨论。1893年他参加了法国经度局，参与了把全世界的时间同步的活动。在1897年，他支持了一个没有成功的把弧度测量十进制化进而把时间和经度十进制化的建议。这项工作导致他考虑高速移动的钟如何互相同步的问题。在1898年，在"时间的测量"中，他阐述了相对论原理，根据这个原理，没有机械或电磁试验可以区分匀速运动的状态和静止的状态。和荷兰理论家洛仑兹的合作中，他把时间的物理推向极限来解释快速运动的电子的行为。但正是阿尔伯特·爱因斯坦才准备好了重建整个物理大厦，是他推出了成功的新相对性模型。

亨利·庞加莱和阿尔伯特·爱因斯坦在他们在相对论上的工作有一段有趣的关系 -- 实际上可以说是缺乏关系(Pais, 1982年)。他们的交互开始于1905年，当时庞加莱发表了他的第一篇关于相对论的论文。.该论文的课题是"部分运动学的，部分动力学的"，并包括洛仑兹关于洛伦兹变换(实际上是庞加莱给它这个名字的)的证明的更正。大约一个月后，爱因斯坦发表了他在相对论上的第一篇论文。 两人都继续发表相对论上的工作，但是没有任何一个引用对方的工作。爱因斯坦不仅不引用庞加莱的工作，他也宣称从未读过! (不知道他是否最终读过庞加莱的论文。) 爱因斯坦最后引用了庞加莱并且承认了他在相对论上的工作，这是在1921年称为`Geometrie und Erahrung&#39;演讲稿中。在爱因斯坦其后的生涯中，他评论庞加莱为相对论的先驱之一。在爱因斯坦死前，爱因斯坦说:

洛仑兹已经认出了以他命名的变换对于麦克斯韦方程组的分析是基本的，而庞加莱进一步深化了这个远见...


事业后期
庞加莱给出了数学上最著名问题之一。称为庞加莱猜想，这是今天还未完全解答的拓扑学问题。

在1899年，然后更为成功的在1904年，他介入了Alfred Dreyfus的审判。他攻击了针对Dreyfus的证据的伪造的科学上的声称，Dreyfus是法国军队的犹太裔官员，被反闪族人联盟指控叛国。

在1912年庞加莱接受了前列腺问题的手术治疗，然后因栓塞于1912年7月17日去世。

特色
庞加莱的工作习惯被比作从一朵花飞到另一朵花的蜜蜂。庞加莱对他自己的意识工作的方式感兴趣；他研究了他的习惯并在1908年在巴黎一般心理学学院关于他的观察给了一个报告。他把他的思考方式和他如何作了几个发现联系起来。

数学家达布(Darboux)宣称他是un intuitif(直觉的)，论证说这可以从他经常用视觉表示来工作显示出来。他不关心严格性，且不喜欢逻辑。他相信逻辑不是发明之道，而是一个结构化想法的方法，而且逻辑限制思想。


Toulouse所归纳的特点
他的精神组织不仅对他自己很有趣，对于Toulouse也是，他是巴黎高等学校心理学实验室的心理学家。Toulouse写了一本称为亨利·庞加莱的书(1910年)。在其中，他讨论了庞加莱的通常时间表:

他在每天同样时间工作，分成短的时期。他每天从事数学研究四小时，在上午10点到中午之间，然后再在下午5点到7点之间。他在晚上晚些时候读期刊里的文章。
他有出众的记忆力，并能记起他所读过的文本中任意一项的页和行。他也能够记起耳朵听到的准确词句。他一生保有这些能力。
他的通常工作习惯是在头脑里完全解决一个问题，然后把完成的问题交付纸上。
他左右手都灵活，近视。
他能够将他所听到的东西图像化的能力被证明为很重要，特别是当他参加讲座的时候，因为他的视力差到无法看清他的演讲者在黑板上所写的东西。
但是这些能力被他的一些缺点所平衡了一些:

他体格上笨拙，艺术上无能。
他总是急匆匆的，不喜欢返回来作改变或更正。
他从不在一个问题上花太多时间，因为他相信下意识会在他在另一个问题上工作的时候继续在前一个问题上工作。
另外，Toulouse说多数数学家从已经建立的原则工作，而庞加莱是每次从基本原理重新开始的那种(O&#39;Connor等人, 2002年)

他的思考方式可以很好的总结如下:

Habitué à négliger les détails et à ne regarder que les cimes, il passait de l&#39;une à l&#39;autre avec une promptitude surprenante et les faits qu&#39;il découvrait se groupant d&#39;eux-mêmes autour de leur centre étaient instantanément et automatiquement classés dans sa mémoire. 翻译为:他忽略细节，从想法跳到想法，从每个想法收集起来的事实然后就合了起来并解决了问题。(Belliver, 1956年)


著作
他做出过贡献的特定课题包括:

代数拓扑
多复变量解析函数论
交换函数论
代数几何
数论
三体问题
丢番图方程的理论
电磁学理论
狭义相对论
在一篇1894年的论文中，他引入了基本群的概念。
在微分方程领域，庞加莱给出许多微分方程的定性理论的许多结果，例如庞加莱球面和庞加莱映射。
庞加莱对于应用数学的不同领域做出了许多贡献，例如：天体力学，流体力学，光学，电学，电报，毛细现象，弹性理论，热动力学，势理论，量子理论，相对论和宇宙学。

他也是数学和物理的通俗作家，并写了多本给一般大众的书。


哲学
庞加莱有着与罗素(Bertrand Russell) 和 Gottlob Frege(弗雷格)截然不同的哲学思想。罗素和Frege相信数学是逻辑的一个分支. 庞加莱强烈反对。他认为直觉 intuition 才是数学的生命. 庞加莱在他的书Science and Hypothesis中写道这样一个有趣的观点: “对于一个肤浅的观察者来说，科学真理是不存在任何怀疑的可能的；科学的逻辑是不会错的，即使有时候科学家犯错，那也只是因为他们错误运用了科学的法则。” 庞加莱相信算术是一个综合科学(synthetic science)。他争论说皮亚诺公理不能不绕圈的用归纳法证明(Murz, 2001年),所以得出结论说算术是先验的综合的而不是演绎的。庞加莱进一步说明数学不能从逻辑导出因为它不是演绎的。他的观点和康德的一致Kant (Kolak, 2001年)。但是庞加莱不是和康德在哲学和数学的所有分支中观点相同。例如，在几何中，非欧几何的结构可以解析(演绎)的得到。


荣誉
奖项

伦敦皇家天文学会金奖(1900年)
布鲁斯奖(Bruce Medal) (1911年)
以他命名

月球上的庞加莱火山口
小行星 2021庞加莱

出版物
庞加莱对于代数拓扑的主要贡献在于Analysis situs(位相分析，1895年)，它是第一个对拓扑真正系统的检视。

他出版了两本重要著作，使得天体力学建立在严格的数学基础之上:

天体力学新方法 ISBN 1563961172 (3 vols., 1892-99; 英语译本, 1967年)
天体力学课程. (1905-10年).
在通俗写作中，他通过如下作品帮助建立了对科学最基本的流行定义和看法:

科学和假设, 1901年.
科学的价值, 1904年.
科学和方法, 1908年.
Dernières pensées ("最后的想法");Ernest Flammarion版, 巴黎, 1913年.

参考
本文含有从PlanetMath上的Jules Henri Poincaré来的材料，版权遵守GNU自由文档许可证。

Bell, Eric Temple (1986). Men of Mathematics (reissue edition). Touchstone Books. ISBN 0671628186.
Belliver, André. Henri Poincaré ou la vocation souveraine, Gallimard, 1956.
Boyer B. Carl. A History of Mathematics: Henri Poincaré, John Wiley & Sons, inc., Toronto, 1968.
O&#39;Connor, J. John & Robertson, F. Edmund, "Jules Henri Poincaré" University of St Andrews, Scotland (2002).
Galison, Peter Louis (2003). Einstein&#39;s Clocks, Poincaré&#39;s Maps: Empires of Time. Hodder & Stoughton. ISBN 034079447X.
Kolak, Daniel: Lovers of Wisdom (second edition), Wadsworth, Belmont, 2001.
Pais, Abraham: Subtle is the Lord..., Oxford University Press, New York, 1982.
Peterson, Ivars (1995). Newton&#39;s Clock: Chaos in the Solar System (reissue edition). W H Freeman & Co. ISBN 0716727242.
Sageret, Jules. Henri Poincaré, Mercvre de France, Paris, 1911.
E. Toulouse, Henri Poincaré, Paris (1910) - (Source biography in French)

参看
庞加莱猜想
始态复现定理(Poincaré recurrence theorem)
双曲几何

外部链接
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庞加莱数学成就回顾
庞加莱一生时间表 (法语)
庞加莱1897年文章"空间的相对性", 英文译本
庞加莱，他的猜想，科巴卡巴那和高维
Bour P-E., Rebuschi M.: Serveur W3 des Archives H. Poincaré
Murz, Mauro. 网络哲学条目百科全书
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曾燕环

生： 西元  1854年 4 月 29日 於 南錫
卒： 西元  1912年 7 月 17日 於 巴黎
國籍：  法國
詳細內容 : 龐加萊生於法國，卒於巴黎，法國數學家。工作橫跨數學與科學，對近代數學有很大的影響與貢獻，被譽為史上最後一位數學通才。龐加萊家族顯赫，堂弟 Raymond 龐加萊 曾多次連任的法國總理，而且是帶領法國渡過第一次世界大戰的總統。

龐加萊從小就展現出不凡的才能，在數學上更是佼佼者。不過由於他小時感染白喉，加上先天肌肉運作不很協調，他在體育、美術、音樂上的表現就相當差勁。他的視力非常差，因此上課完全靠聽力來進行，幸好他有著非凡的記憶力與驚人的空間直覺，在知識的掌握與學習上反而更加出類拔萃，1875年他畢業後，進入礦業學校，立志成為工程師，但他在數學上的天分，還是讓他走回數學這條路。1879年，他在 Hermite 指導下，取得巴黎大學博士學位，並且應邀至 Caen 大學教書。1881年，27歲時轉到巴黎大學任教，一直到他過世。

龐加萊的成就跨越相當多領域，大致如下：

自守函數（automorphic function）：
龐加萊早期最主要的工作集中在自守函數的研究，其中牽涉到複變、微分方程、黎曼面、群論的知識。運用其中的 Fuch 函數，可以求得高次多項式的公式解。不過他命名為 Fuchs 函數的這類函數，被德國數學家 Klein 指出他已經研究過了。於是龐加萊幽默地將另一類 Klein 從未涉及的自守函數，命名為 Klein 函數。

動力系統 (dynamical system) 與渾沌系統(chaos) ：
1887年瑞典國王 Oskar 二世懸賞徵答，以解決天體力學中的 n 體問題。龐加萊以他在三體問題的研究獲獎，還證明了這種限制性三體問題的周期解的數目同連續統的勢一樣大，但是內容有誤，一直到1890年修訂版才問世。這重大的錯誤，導致龐加萊以定性而非定量的方式重新探討這個艱難的問題，並開啟了廿世紀動力系統定性理論的先河。近日流行的渾沌理論，雖然另有起源，但是其數學理論則為動力系統的一支，許多龐加萊曾使用的詞彙，今日都已經成為標準用法。

代數拓樸：
由於自守函數與 n 體問題的研究，1895年他出版《位相分析》(Analysis situs) ，提出基本群 (fundamental group)、同調群 (homology group)、龐加萊 對偶性質(龐加萊 duality)、三角分割 (triangulation) 等新觀念，此後40年間代數拓樸的蓬勃發展，幾乎都是以龐加萊的工作與構想為基礎。所謂三維龐加萊猜測就是：

若一三維連通緊緻無邊流形之基本群為 1，則它必為圓球。

其他：
龐加萊催生了多複變函數論的領域；機率論的遍歷性假設（應用到統計力學）；在代數幾何的代數曲線方面，澄清義大利學派的迷團；研究數論裡丟番圖問題的有理點；流體力學中旋轉流體之平衡解（之後應用到天體演化之宇宙學）；由於研究電子運動，龐加萊得到許多與愛因斯坦狹義相對論相同的結果 ; 另外他在物理及其他科學領域也有許多成果，驚人的成就讓他成為法國科學院唯一橫跨所有分組──幾何，力學，物理，地學與航海學的院士。

龐加萊 是一個相當獨立的數學家，終身沒有一個學生。他的數學行文也經常因為略帶混淆卻又規模宏大而引人詬病，Dieudonne 就曾經埋怨說，因為 龐加萊《位相分析》的不清不楚，使它在數學發展上延宕太久。

  但是龐加萊為公眾所寫的科學普及文章卻是異常流利，他的三本科學哲學著作結集《科學與假說》(1901)，《科學的價值》(1905) 和《科學與方法》(1908)，被譯成多種文字流傳，他還因為著作的文學成就而獲選為法蘭西學院 (Académie fran鏰ise) 院士（法國文人作家的最高榮譽）。

從這些書中，我們可以了解龐加萊 的數學思想。他極力強調在數學研究中，邏輯雖是必要的驗證工具，但只有依賴我們的直覺，才能發明或確認可靠而正確的數學對象或觀念。

曾燕环

．十九世纪后期的领袖数学家—庞加莱(摘自《科普介绍》
这是他的相片（一看就象搞学术的样子)

  昂利&#8226;庞加莱是法国数学家，1854年4月29日生于南锡，1912年7月17日卒于巴黎。
   庞加莱的父母亲都出身于法国的显赫世家，几代人都居住在法国东部的洛林。庞加莱从小就显出超常的智力，他智力的重要来源之一是遗传。他的双亲智力都很高，他的双亲又可追溯到他的祖父。他的祖父曾在拿破仑政权下的圣康坦部队医院供职，1817年在鲁昂定居，先后生下两个儿子，大儿子莱昂·庞加莱即为庞加莱的父亲。
   庞加莱的父亲是当地一位著名医生，并任南锡大学医学院教授。他的母亲是一位善良、才华出众、很有教养的女性，一生的心血全部倾注到教育和照料孩子身上。庞加莱叔叔的两个儿子是法国政界的著名人物：雷蒙·庞加莱于1913至1920年间任法国总统；吕西·庞加莱曾任法国民众教育与美术部长，负责中等教育工作。
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庞加莱的童年主要接受母亲的教育。他的超常智力使他成为早熟的儿童，不仅接受知识极为迅速，而且口才也很流利。但不幸的事发生了：五岁时患了一场白喉病、九个月后喉头坏了，致使他的思想不能顺利用口头表达出来，并成为一位体弱多病的入。尽管如此，庞加莱还是乐意玩耍游戏，喜欢跳舞。当然，剧烈的运动他是无法进行。
   庞加莱特别爱好读书，读书的速度快得惊人，而且能对读过的内容迅速、准确、持久地记住。他甚至能讲出书中某件事是在第几页第几行中讲述的！庞加莱还对博物学发生过特殊的兴趣，《大洪水前的地球》一书据说给他留下了终身不忘的印象。他对自然史的兴趣也很浓，历史、地理的成绩也很优异。他在儿童时代还显露了文学才华，有的作文被老师誉为“杰作”。
   庞加莱l862年进入南锡中学读书。初进校时虽然他的各科学习成绩十分优异，但并没有对数学产生特殊的兴趣。对数学的特殊兴趣大约开始于15岁，并很快就显露了非凡才能。从此，他习惯于一边散步，一边解数学难题。这种习惯一直保持终身。
  1870年7月19日爆发的普法战争使得庞加莱不得不中断学业。法国被战败了，法国的许多城乡被德军洗劫一空并被德军占领。
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为了了解时局，他很快学会了德文。他通过亲眼看到的德军的暴行，使他成了一个炽热的爱国者。
  1871年3月18日，巴黎无产者举行了武装起义，普法的反动派又很快联合起来扑灭了革命烈火，庞加莱又继续上学了。1872年庞加莱两次荣获法国公立中学生数学竞赛头等奖，从而使他于1873年被高等二科学校作第一名录取。据说，在南锡中学读书时，他的老师就誉称他为“数学巨人”。高等工科学校为了测试他的数学才能还特意设计了一套“漂亮的问题”，一方面要考出他的数学天才；另一方面也为了避免40年前伽罗瓦的教训重演。
  1875年～1878年，庞加莱在高等工科学校毕业后，又在国立高等矿业学校学习工程，准备当一名工程师。但他却缺少这方面的勇气，且与他的兴趣不符。
  1879年8月1日，庞加莱撰写了关于微分方程方面的博士论文，获得了博士学位。然后到卡昂大学理学院任讲师，1881年任巴黎大学教授，直到去世。这样，庞加莱一生的科学事业就和巴黎大学紧紧地联在一起了。
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庞加莱的童年主要接受母亲的教育。他的超常智力使他成为早熟的儿童，不仅接受知识极为迅速，而且口才也很流利。但不幸的事发生了：五岁时患了一场白喉病、九个月后喉头坏了，致使他的思想不能顺利用口头表达出来，并成为一位体弱多病的入。尽管如此，庞加莱还是乐意玩耍游戏，喜欢跳舞。当然，剧烈的运动他是无法进行。
   庞加莱特别爱好读书，读书的速度快得惊人，而且能对读过的内容迅速、准确、持久地记住。他甚至能讲出书中某件事是在第几页第几行中讲述的！庞加莱还对博物学发生过特殊的兴趣，《大洪水前的地球》一书据说给他留下了终身不忘的印象。他对自然史的兴趣也很浓，历史、地理的成绩也很优异。他在儿童时代还显露了文学才华，有的作文被老师誉为“杰作”。
   庞加莱l862年进入南锡中学读书。初进校时虽然他的各科学习成绩十分优异，但并没有对数学产生特殊的兴趣。对数学的特殊兴趣大约开始于15岁，并很快就显露了非凡才能。从此，他习惯于一边散步，一边解数学难题。这种习惯一直保持终身。
  1870年7月19日爆发的普法战争使得庞加莱不得不中断学业。法国被战败了，法国的许多城乡被德军洗劫一空并被德军占领。
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为了了解时局，他很快学会了德文。他通过亲眼看到的德军的暴行，使他成了一个炽热的爱国者。
  1871年3月18日，巴黎无产者举行了武装起义，普法的反动派又很快联合起来扑灭了革命烈火，庞加莱又继续上学了。1872年庞加莱两次荣获法国公立中学生数学竞赛头等奖，从而使他于1873年被高等二科学校作第一名录取。据说，在南锡中学读书时，他的老师就誉称他为“数学巨人”。高等工科学校为了测试他的数学才能还特意设计了一套“漂亮的问题”，一方面要考出他的数学天才；另一方面也为了避免40年前伽罗瓦的教训重演。
  1875年～1878年，庞加莱在高等工科学校毕业后，又在国立高等矿业学校学习工程，准备当一名工程师。但他却缺少这方面的勇气，且与他的兴趣不符。
  1879年8月1日，庞加莱撰写了关于微分方程方面的博士论文，获得了博士学位。然后到卡昂大学理学院任讲师，1881年任巴黎大学教授，直到去世。这样，庞加莱一生的科学事业就和巴黎大学紧紧地联在一起了。
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庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学等许多领域，最重要的工作是在分析学方面。他早期的主要工作是创立自守函数理论(1878)。他引进了富克斯群和克莱因群，构造了更一般的基本域。他利用后来以他的名字命名的级数构造了自守函数，并发现这种函数作为代数函数的单值化函数的效用。
  1883年，庞加莱提出了一般的单值化定理(1907年，他和克贝相互独立地给出完全的证明)。同年，他进而研究一般解析函数论，研究了整函数的亏格及其与泰勒展开的系数或函数绝对值的增长率之间的关系，它同皮卡定理构成后来的整函数及亚纯函数理论发展的基础。他又是多复变函数论的先驱者之一。
  庞加莱为了研究行星轨道和卫星轨道的稳定性问题，在1881～1886年发表的四篇关于微分方程所确定的积分曲线的论文中，创立了微分方程的定性理论。他研究了微分方程的解在四种类型的奇点(焦点、鞍点、结点、中心)附近的性态。他提出根据解对极限环(他求出的一种特殊的封闭曲线)的关系，可以判定解的稳定性。
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1885年，瑞典国王奥斯卡二世设立“n体问题”奖，引起庞加莱研究天体力学问题的兴趣。他以关于当三体中的两个的质量比另一个小得多时的三体问题的周期解的论文获奖，还证明了这种限制性三体问题的周期解的数目同连续统的势一样大。这以后，他又进行了大量天体力学研究，引进了渐进展开的方法，得出严格的天体力学计算技术。
  庞加莱还开创了动力系统理论，1895年证明了“庞加莱回归定理”。他在天体力学方面的另一重要结果是，在引力作用下，转动流体的形状除了已知的旋转椭球体、不等轴椭球体和环状体外，还有三种庞加莱梨形体存在。
  庞加莱对数学物理和偏微分方程也有贡献。他用括去法证明了狄利克雷问题解的存在性，这一方法后来促使位势论有新发展。他还研究拉普拉斯算子的特征值问题，给出了特征值和特征函数存在性的严格证明。他在积分方程中引进复参数方法，促进了弗雷德霍姆理论的发展。
  庞加莱对现代数学最重要的影响是创立组合拓扑学。1892年他发表勒第一篇论文，1895～1904年，他在六篇论文中建立了组合拓扑学。他还引
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进贝蒂数、挠系数和基本群等重要概念，创造流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关连系数矩阵等工具，借助它们推广欧拉多面体定理成为欧拉—庞加莱公式，并证明流形的同调对偶定理。
庞加莱的思想预示了德·拉姆定理和霍奇理论。他还提出庞加莱猜想，在“庞加莱的最后定理”中，他把限制性三体问题的周期解的存在问题，归结为满足某种条件的平面连续变换不动点的存在问题。
  庞加莱在数论和代数学方面的工作不多，但很有影响。他的《有理数域上的代数几何学》一书开创了丢番图方程的有理解的研究。他定义了曲线的秩数，成为丢番图几何的重要研究对象。他在代数学中引进群代数并证明其分解定理。第一次引进代数中的左理想和右理想的概念。证明了李代数第三基本定理及坎贝尔—豪斯多夫公式。还引进李代数的包络代数，并对其基加以描述，证明了庞加莱—伯克霍夫—维特定理。
  庞加莱对经典物理学有深入而广泛的研究，对狭义相对论的创立有贡献。他从1899年开始
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研究电子理论，首先认识到洛伦茨变换构成群。
  庞加莱的哲学著作《科学与假设》、《科学的价值》、《科学与方法》也有着重大的影响。他是约定主义的代表人物，认为科学公理是方便的定义或约定，可以在一切可能的约定中进行选择，但需以实验事实为依据，避开一切矛盾。在数学上，他不同意罗素、希尔伯特的观点，反对无穷集合的概念，赞成潜在的无穷，认为数学最基本的直观概念是自然数，反对把自然数归结为集合论。这使他成为直觉主义的先驱者之一。
  1905年，匈牙利科学院颁发一项奖金为l0000金克朗的鲍尔约奖。这个奖是要奖给在过去25年为数学发展作出过最大贡献的数学家。由于庞加莱从1879年就开始从事数学研究，并在数学的几乎整个领域都作出了杰出贡献，因而此项奖又非他莫属。
   1906年，庞加莱当选为巴黎科学院主席；1908年，他被选为法国科学院院士，这是一位法国科学家所能达到的最高地位。1908年庞加莱因前列腺增大而未能前往罗马，虽经意大利外科医生作了手术，使他能继续如前一样精力充沛地工作，但好景不长。
   1912年春天，庞加莱再次病倒了，7月9日作了第二次手术；7月l7日在穿衣服时，突然因血栓梗塞，在巴黎逝世，终年仅58岁!
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庞加莱被公认是19世纪后四分之一和二十世纪初的领袖数学家，是对于数学和它的应用具有全面知识的最后一个人。
  罗素认为，本世纪初法兰西最伟大的人物就是昂利·庞加莱。“当我最近在盖&#8226;吕萨街庞加莱通风的休息处拜访他时，……我的舌头一下子失去了功能，直到我用了一些时间(可能有两、三分钟)仔细端详和承受了可谓他思想的外部形式的年轻面貌时，我才发现自己能够开始说话了。”
  这位“如此美貌，如此年轻”的孩子，竟然是那些洪水般涌来、预示了柯西的一个后继者的到来的论文作者，这是创办《美国数学杂志》的英国数学家西尔维斯待于1885年见到庞加莱的心情写照。
  阿达马这位曾在函数论、数论、微分方程、泛函分析、微分几何、集合论、数学基础等领域作出过杰出贡献的法国数学家认为，庞加莱“整个地改变了数学科学的状况，在一切方向上打开了新的道路。”
  庞加莱逝世80年来的历史告诉我们，罗素、西尔维斯特、阿达马等的论断是多么正确！庞加莱一生发表的科学论文约500篇、科学著作约30部，几乎涉及到数学的所有领域以及理论物理、天体物理等的许多重要领域。
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曾燕环

前言
   Wir m\"ussen wissen! Wir werden wissen!
   (我们必须知道！我们必将知道！)
                               —— David Hilbert
   两年前科学版举行过一次版聚，我报告了低维拓扑里面的一些问题和进展，其中有一半篇幅是关于 Poincar\&#39;e 猜想。版聚后，flyleaf 要求大家回去后把自己所讲的内容发在版上。当时我甚至已经开始写了一两段，但后来又搁置了。主要是因为自己对于低维拓扑还是一个门外汉，写出来的东西难免有疏漏之处，不敢妄下笔。
   两年过去，我对低维拓扑这门学科的了解比原先多了，说话的底气也就比原先足了。另外，由于 Clay 研究所的百万巨赏，近年来 Poincar\&#39;e 猜想频频在媒体上曝光；而且 Perelman 最近的工作使数学家们有理由相信我们已经充分接近于这一猜想的最后解决。所以大概会有很多人对 Poincar\&#39;e 猜想的来龙去脉感兴趣，我也好借机一偿两年来的宿愿。
   现代科学的高速发展使各学科之间的鸿沟加大，不同学科之间难以互相理解，所以非数学专业的读者在阅读本文时可能会遇到一些困难。但限于篇幅和文章的形式，我也不可能对很多东西详细解释。一些最基本的拓扑概念如“流形”，我将在本文的附录中解释。还有一些“同调群”、“基本群”之类的名词，读者见到时大可不去理会它们的确切含义。我将尽量避免使用这一类的专业术语。
   作者并非拓扑方面的专家，对下面要说的很多内容都是道听途说，只知其然而不知其所以然；作者更不善于写作，写出来的东东总会枯燥无味，难登大雅之堂。凡此种种，还请读者诸君海涵。问题的由来
   Consid\&#39;erons maintenant une vari\&#39;et\&#39;e [ferm\&#39;ee] $V$ \`a trois
dimensions ... Est-il possible que le groupe fondamental de $V$ se
r\&#39;eduise \`a la substitution identique, et que pourtant $V$ ne soit pas
simplement connexe?
                          —— Henri Poincar\&#39;e
   在拓扑学家的眼里，篮球、排球和乒乓球并没有什么不同，它们都同胚于三维空间中的球面S^2. (我们把n+1维欧氏空间中到原点距离为1的点的集合记作S^n，称为n维球面(sphere)。) 与它们不同的一种曲面是轮胎或者游泳圈，我们管这种曲面叫环面(torus)，记作T^2.   从环面出发可以构造更多的曲面：取两个环面，在每个上面挖一个洞，然后把两个洞的边缘粘在一起，就得到一种新的曲面，称为双环面，记作2T^2. 从两个环面得到双环面的这种过程称为作两个环面的连通和connected sum)。类似地，还可以作双环面与环面的连通和，得到的曲面自然就记作3T^2...
   早期拓扑学研究的主要对象就是这些形形色色的曲面。19世纪的数学家基本上已经完成了曲面的分类，一个著名的结果是 August M\"obius 在70岁时得到的：可定向闭曲面只有上面所说的那些，即 S^2, T^2, 2T^2, 3T^2...   拿一个汽车轮胎，我们可以用一个绳圈把它套住，而且套得很牢，怎么晃都晃不掉，只要绳子不断、轮胎不裂。如果是皮球就不同了，你没法用绳圈把一个皮球套牢。即使你将皮球捏瘪甚至捏凹，也只能勉强用绳圈套上，稍微晃一晃就掉了。这种“用绳圈套不住”的性质是球面所独有的，数学上称为“单连通性”。 较严格地用数学语言说，球面上的任何一条闭合道路都能在球面上连续地收敛为一点。而T^2, 2T^2等曲面就不是单连通的，因为上面存在着一些闭合道路，不能在该曲面上连续地收缩为一点。根据 M\"obius 所证明的闭曲面分类定理，单连通的闭曲面必然同胚于球面。
   数学家们在获得一个结论后，总是会寻找更加一般的结论。以前 Ecole Poly-technique 的一位物理教授面试 ukim 的时候，出了一道题，大意是在xz平面, zy平面, yz平面各放一面镜子，一束光照进来，然后如何如何。ukim 当然不会做，然后那教授给他讲了一个很好的看法。为了挽回面子，ukim 瞬间证明了这个问题可以推广到n维……
   一百年前 ukim 的校友 Poincar\&#39;e 同样是遵循着这种低维->高维的推广思路，写下了前面那一段引言。今天我们把这个问题称为 Poincar\&#39;e 猜想： 单连通的三维闭流形必然同胚于三维球面 S^3. 也就是说，如果有一个三维闭流形M，M 中任何一条闭合道路都能在 M 内连续收缩为一点，那么 M 就同胚于 S^3.  需要指出，Poincar\&#39;e 提出这一问题时，并不是作为一个“猜想”(见[Th2])。
因为他自己只是问“单连通的三维闭流形是否同胚于S^3”，并没有给出一个倾向性的答案。而且他以其深刻的洞察力，看出这一问题的解决还有待时日："Mais cettequestion nous entra\^{\i}nerait trop loin."
参考文献：
[Mil] J. Milnor, "The Poincar\&#39;e Conjecture", http://www.claymath.org/Millen
nium_Prize_Problems/Poincare_Conjecture/_objects/Official_Problem_Description
.pdf, (2000).
[Th2] Thurston, W. P. "Three-dimentional manifolds, Kleinian groups and
hyperbolic geometry", Bull. Amer. Math. Soc. 6(1982), 357-381.


维数的玩笑
   Dimension implies direction, implies measurement, implies the more and
the less.
                      —— Edwin A. Abbott, "Flatland"
   1900年，Poincar\&#39;e 最初用他所创立的代数拓扑研究三维流形时，提出的问题是：如果一个流形与三维球面有着相同的同调群，那么这个流形是否同胚于 S^3？四年后他本人给出了否定的回答。这时他已经引进了基本群，于是便将问题改成：“如果一个三维闭流形与三维球面有相同的基本群，(即基本群平凡，或者说这个流形单连通，) 那么这个流形是否同胚于S^3？”。这就是我们所说的“Poincar\&#39;eConjecture”。
   容易证明，如果一个三维闭流形单连通，那么它同伦等价于S^3，当然也与S^3有相同的同调群。我们今天把与球面有相同的同调群的流形称为同调球(homology sphere)，而同伦等价于球面的流形则称为同伦球(homotopy sphere)。Poincar\&#39;e猜想也可以叙述为：三维同伦球一定同胚于球面。
   （Poincar\&#39;e 在1904年构造了一个三维同调球，其基本群是一个120阶群，从而对他在1900年提出的那个问题给了否定回答。有趣的是，尽管后人能构造出许多同调球，但只有 Poincar\&#39;e 的那个具有有限的基本群。事实上，如果 Poincar\&#39;e猜想正确的话，Poincar\&#39;e 的同调球就是唯一一个基本群有限但不同胚于S^3的同调球。）
   我们在前一节说过，数学家总是喜欢对问题进行推广。后来的数学家推广了Poincar\&#39;e 的命题，提出所谓的广义 Poincar\&#39;e 猜想：n维同伦球一定同胚于n维球面 S^n. 这个问题等价于：如果一个n维单连通流形与 S^n 有相同的同调群，那么它同胚于 S^n.   1961年，Stephen Smale 在[Sm]文中证明了广义 Poincar\&#39;e 猜想在n≥5时成立，并因此获得了1966年的 Fields 奖。Smale 是一位经历丰富、特立独行的数学家。六十年代在 Berkeley 他就是反越战运动的领袖，并因此上了FBI的黑名单。1966年他到莫斯科领取 Fields 奖时，又因为公开抨击苏联的国内国际政策而被KGB找去谈话。1998年北大百年校庆期间，我有幸见到这位传奇人物。当时感觉他虽然面容如古井不波，眼眸中却隐藏不住顽皮好动的神色。最近出版了一本他的传记[Bat]，读者可以从中领略到他的风采。 这里有一点乍看来比较奇怪：通常我们认为高维比低维更复杂更困难，但广义Poincar\&#39;e 猜想首先获得证明的却是n≥5的情形。拓扑里这种事很常见，很多问题都是低维比高维更困难，可谓是维数开的一个玩笑。我们可以简要解释如下：维数高意味着有更多的“余地”进行一些操作。比如说，我们经常要考虑流形里的曲面。曲面是2维的对象，在3维或4维流形中，它的“剩余”维数是1或2，太狭小；在5维
以上流形中，“剩余”维数大于它自身的维数，有充足的余地进行操作。   1982年，UCSD的 Michael Freedman 完成了单连通四维流形的拓扑分类，从而证明了4维的广义 Poincar\&#39;e 猜想，并因此获得了1986年的 Fields 奖。至此，后人提出的“广义” Poincar\&#39;e 猜想都已经获得证明，而 Poincar\&#39;e 原先提出的三维情形还没解决。Freedman 的工作已经超出了笔者的理解范围，有兴趣的读者可参见[FQ]和[Kir]。
   Freedman 热爱攀岩，善于长跑。有一年北京大学的王诗宬同他在海边跑一万米，
跑完后 Freedman 意犹未尽，立刻作了几十个俯卧撑。Freedman 的妻子是美国国家
长跑队的队员，跑得比他还快。如今他已经跳槽到微软研究院，研究远未有结果的
“量子场计算机”。
参考文献：
[Bat] S. Batterson, "Stephen Smale : the mathematician who broke the
dimension barrier", American Mathematical Society (2000). 中译本：“突破维
数障碍 斯梅尔传”，邝仲平译，上海科技教育出版社 (2002).
[FQ] M. H. Freedman, and F. Quinn, "Topology of 4-manifolds", Princeton
University Press (1990).
[Kir] R. C. Kirby, "The topology of 4-manifolds", Lecture Notes in
Mathematics 1374, Springer-Verlag (1989).
than four", Ann. Math. 74(1961), 391-406.


与风车搏斗的人们
   为了寻求真理，我们是注定会经历挫折和失败的。
                        —— Denis Diderot
    拓扑学的一个基本问题是流形的拓扑分类。从代数拓扑角度看，同伦球是比较简单的一类流形。Poincar\&#39;e 猜想所问的就是，在这种几乎是最简单的情形，代数信息能在多大程度上确定拓扑信息？这是一个拓扑学家无法回避的问题。不难想象，像这样著名且重要的问题会有很多人有兴趣研究，也会有很多人认为自己已经解决。但这些人都是真正严肃的研究者，因为民间数学家恐怕连这个问题都看不懂。   1934年，J. H. C. Whitehead (并非那位与 Bertrand Russell 齐名的哲学家A. N. Whitehead) 在一篇文章中“证明”了这样一个结论：“任何一个开的三维流形，如果同伦等价于三维欧氏空间 R^3，那么就一定同胚于 R^3”。S^3 挖去一个点就是 R^3，所以这个命题能够推出 Poincar\&#39;e 猜想。不幸 (或者说万幸？) 的是，稍后 Whitehead 本人发现了其中的错误，并且举出了一个反例。(J. H. C. Whitehead是同伦论的奠基人之一，后来在墨西哥太阳金字塔失足跌死。)
   Poincar\&#39;e 猜想有很多等价的描述，Princeton 的希腊数学家 C. D. Papaky-riakopoulos 曾经把它化成一个纯粹的群论问题。Papa...是几何、拓扑领域最高奖Veblen奖的首届获奖者。他研究生涯后期的主要精力就放在 Poincar\&#39;e 猜想上。后来他病入膏肓，便找来三位著名的拓扑学家到病床前，拿出一份手稿，说自己证明了 Poincar\&#39;e 猜想。其实那三人已经发现了证明中的一个明显错误，但都没有捅破，只是安慰 Papa...说他们会仔细看一看这个证明。随后不久 Papakyriakopoulos 便
辞世了。   早先给出 Poincar\&#39;e 猜想错误证明的人很多，Whitehead 和 Papakyriakopoulos
算是其中名气最大的。当然，即使是这些错误证明，也有其价值，至少给后人树了一块“此路不通”的牌子；而且很多证明是有其正面意义的。70年代以前关于 Poin-car\&#39;e 猜想的研究进展在[Hem]一书中有所总结。
   近来来关于 Poincar\&#39;e 猜想证明，比较出名的是 Po\&#39;enaru 的工作。Po\&#39;enaru是三维拓扑领域中相当有影响的数学家，按王诗宬的说法是一个“神人”。从上世纪九十年代以来，他陆续写了一系列文章，提出了一个证明 Poincar\&#39;e 猜想的纲领(见[Ga])。经过中间一些反复，最终他宣布已经完成了整个证明。问题是，他写的证明加起来超过了一千页……陈省身对此的评论是：“一千页的证明还不如不证明。”
   其实一千页并不算长，——在某些人眼里。1980年左右，群论专家们宣布完成了有限单群的分类。整个证明由几十年间发表在各种杂志上的上百篇论文组成，总
长度超过15,000页，其中最长的一篇论文有1,200页。接下来就有几个人致力于整理出系统的证明，已出版的第一卷有800页。他们的最终目标是一个3,000页左右的证明，这样才具有一定的可读性。
   审阅证明基本上是一件为她人作嫁衣裳的苦差使。数学家有自己的事情要做，很难花费宝贵时间去阅读一个成百上千页的证明。所以这样的证明不容易获得同行公认。一个著名的例子是 Bieberbach 猜想。1984年，Purdue 大学的 Louis deBranges 宣布他解决了这一单叶函数论里的核心问题，并把手稿寄给十几位专家审阅。De Branges 是一位复分析学家，但并不属于单叶函数论的圈子；他已经五十多岁了，而且名声不太好，——他曾宣称自己证明了Riemann假设；他用的方法是几十年前的人就使用过的老方法，在圈内人眼中这种方法根本不会成功……总之，各种因素都对 de Branges 很不利，使得没有一位美国数学家愿意审阅他那篇385页的论文。   好在西方不亮东方亮，世界上还有一种勤劳、勇敢、智慧、热情的生物，我们称之为苏联人。三位苏联同行把 de Branges 请到列宁格勒，开了一个学期的讨论班讲他的工作。最终苏联人审查通过了 de Branges 的论文，并把证明简化到只有15页，发表在 Acta Mathematica 上。后来在 Purdue 召开了一个关于 Bieberbach
猜想的国际会议，de Branges 在会上发言，一句学术的事情也没讲，尽是大骂他的上司不重视他，不给他加薪，以及抱怨美国同行们有偏见，不理睬他的证明。
   但现在 Po\&#39;enaru 的运气显然没有 de Branges 那么好，因为苏联已经不存在了……曾经有人试图阅读他的证明，结果找到了一个错误。(一千页的证明里，若是没有错误，那才是怪事。) 后来 Po\&#39;enaru 说他已经改正了错误，但再也没有人愿
意去看了。   去年在西安举行了一个几何拓扑的国际会议，Kirby 曾提议叫 Po\&#39;enaru 作一
次全会报告。但组委会认为，一个小时内讲一个一千页的证明，不会对听众有多大帮助，所以没有邀请他。也许 Po\&#39;enaru 的想法真的行得通，但我们大概永远不会知道真相。   2000年，千年之交，Clay 研究所组织数学界的一些领袖人物，提出数学中的七个重要问题，每个问题都悬赏百万美元征求解答，Poincar\&#39;e 猜想便是其中之一。百万巨赏使 Poincar\&#39;e 猜想获得了数学圈以外的名声，尤其是新闻界的关注。从此，关于 Poincar\&#39;e 猜想的一点点风吹草动都会引起大批媒体的兴趣。
   很快就有动静了。2002年初，英国 Southampton 大学的 Martin J. Dunwoody宣布自己解决了 Poincar\&#39;e 猜想，证明放在网上，只有5页。这一新闻迅速占据了世界各地报刊的重要位置，甚至上了Nature,Science这样的正经科技期刊。Dunwoody算是三维拓扑圈子里的人，六十多岁了。5页的证明中，如果有错误，他自己应该能发现，所以人们觉得他可能会有些道理。但无论是他本人，还是他文章中所引用、致谢的人，都不是什么“神人”。就凭这些人能证明 Poincar\&#39;e 猜想？实在让人难以置信。
   错误很快就被人找出来，然后 Dunwoody 修改自己的证明；接下来又找出新的错误，又修改……数易其稿后，论文增加了一个图，页数增加到6页，标题也由"A Proof of the Poincar\&#39;e Conjecture" 变成 "A Proof of the Poincar\&#39;eConjecture?"。但最终，Dunwoody 不得不承认，证明里漏掉了关键的一步。注：本节标题取自 yyf 的系列文章。
参考文献：
[Ga] D. Gabai, "Valentin Po\&#39;enaru&#39;s program for the Poincar\&#39;e conjecture",
Geometry, topology & physics, 139-166, International Press (1995).
[Hem] J. Hempel, "3-Manifolds", Princeton University Press (1976).


造化爱几何
   Direct arguments remain essential, but 3-dimensional topology has now
firmly rejoined the main stream of mathematics.
                —— C. T. C. Wall
   Riemann 对几何的认识适用于任何微分流形：我们总可以给微分流形赋予一个Riemann度量，从而研究上面的几何。Klein 的观点就不是那么普适了，因为 Klein意义下的几何对度量的要求非常特殊，并不是所有的流形上都能有这样的几何。不过二维曲面上都可以有 Klein 式的几何，这就是 Riemann, Klein, Poincar\&#39;e,Koebe 等人所证明的单值化(uniformization)定理的内容。举例子说，在可定向闭曲面里，S^2上当然是球面几何，T^2上则可赋予欧氏几何，双环面等更复杂的曲面
上可以有双曲几何。   三维以上就没有这么好运了，Thurston 的天才创见就在于：提出了单值化定理在三维情形的类比，我们将在下面向读者简略介绍其内容。
   类似于前面所介绍的曲面的连通和，对三维流形也可以有连通和的概念。拿两个三维流形，在每个里面挖去一个开的实心球，这样每个三维流形里就出现了一个空穴。然后把两个带空穴的流形沿着空穴的边界(是球面)粘起来，得到的就是两个流形的连通和。连通和的逆操作就称为连通和分解，即把一个三维流形沿着某个满足一定条件的球面割开，使之分为两块。然后沿着那个球面在每块上粘一个实心球。对每个得到的流形，还可以继续作连通和分解，直至无可再分。  任取一个紧致的(可能带边)三维流形，尽量作连通和，把它分成尽可能简单的三维流形的连通和，就好比对整数进行质因数分解。这一步的存在性是由 H. Kneser在1929年证明的。五十年代末 John Milnor 发现怪球后，转而研究三维流形，首先考虑的就是这一步。有人告诉他 Kneser 已经做了这方面的工作，Milnor 便去研读原文，发现把证明方法稍加改进还可以进一步证明某种唯一性。Kneser-Milnor 的这个定理就是我们处理三维流形的第1步。   拓扑学家的基本想法是沿着一些曲面把三维流形割开，第1步本质上是沿着一些
球面割开，而球面可说是最简单的曲面。另外一种简单的曲面是圆盘，——如果起初考虑的是带边流形的话，那可能还需要沿着一些圆盘继续切割。这姑且算作第1.5步，它的可行性是依据 Papakyriakopoulos 的奠基性工作。
   除了球面和圆盘外，最简单的曲面就是环面和平环(annulus，即两个同心圆及其间夹的部分)。上世纪七十年代，Waldhausen, Jaco, Shalen, Johannson 证明了：经前面处理后的三维流形，有唯一的方法沿着一些环面(如果是带边流形还要加上平环)割开，使每小块尽可能简单。这就是我们的第2步，通常用后三人的姓命名为 JSJ分解。(见[JS],[Jo].)   Jaco 等人公布他们的工作后，Thurston 几乎立即敏锐地洞察到其中的几何内蕴。他指出，紧致三维流形经过前面若干步操作后，剩下的每一小块都能赋予几何结构，即附录二所说的八种几何结构之一。而且这种几何结构在某种意义上是比较
“好”的，例如体积有限、“直线”都可无限延伸等等。这便是我们今天所说的Thurston 的几何化猜想(geometrization conjecture)。Thurston 本人对 Haken流形证明了他的猜想，这已经涵盖了绝大多数情形。但他的证明相当艰深，强烈地
依赖于几何直观。Thurston 本人只是在 Princeton 的课堂上讲授这一证明，并将未正式出版的讲义[Th1]在圈内散发。光直接向他索要讲义的就超过一千人，间接复印的则更多，可见他的工作影响之巨。Thurston 后来也曾经想正式发表他的证明。他计划写一系列共7篇文章，第一篇[Th3]于1981年投出，1986年才得以发表，可见其艰深晦涩。第二篇只有手稿在圈内流传，后面的几篇甚至根本没有出现。   Thurston 本人曾说，他对三维流形的感觉是写不出来的。这种述而不作的态度引来包括 J. P. Serre 在内的一些推崇严格论证的数学家的批评。但这并没有妨碍Thurston 获得1983年的 Fields 奖。数学当然需要严格性，但像 Thurston 这样直觉远超乎常人的天才人物，根本无必要把精力放在琐碎细节的验证上。这些体力活自然有很多人抢着替他干，其中包括许多卓有成就的数学家。像 John Morgan 就曾给出 Haken 流形的几何化定理的较严格的不完全证明(见[MB])，McMullen 以别的方法也给过严格证明。同样的事情也发生在 Thurston 其余的几个重要定理上。直至今日，他那些未严格证明的定理还成为不少人论文的源泉。
   需要指出，在几何化猜想之前，Thurston 已经因为他在三维流形上的foliation方面的工作获得几何、拓扑方面的最高奖 Veblen 奖。而且他的文风一直以简洁清晰著称，这使他在圈内获得良好的声誉。所以如果你只是一个初出茅庐的毛头小伙，你就必须做一些非常实实在在的工作以立足；只有当你成为 Thurston, Gromov 那样的大师时，你才有资格指点江山、勾画蓝图，而把具体工作留给别人去做。   Thurston 几何化猜想可以直接推出 Poincar\&#39;e 猜想，最近对 Poincar\&#39;e 猜想的突破就从这里开始。但 Thurston 工作的重要性并不光是能推出 Poincar\&#39;e猜想。因为 Poincar\&#39;e 猜想只是流形分类中遇到的一个特殊问题，而 Thurston描述出了对所有三维流形进行分类的大纲。而且他把低维拓扑与古典几何(尤其是双曲几何)、Kleinian群、李群、复分析、动力系统等许多数学分支联系到了一起。在他之前，低维拓扑虽然也做得很热闹，也有 Milnor 等大人物涉足其中，但毕竟只是
拓扑里一个偏僻的分支，引不起非拓扑学家的兴趣。 Thurston 等人的工作之后，低
维拓扑才迅速在数学里占据了核心地位，引起广泛关注。
参考文献。
[Hem] J. Hempel, "3-Manifolds", Princeton University Press (1976).
[JS] W. H. Jaco, and P. B. Shalen, "Seifert fibered spaces in 3-manifolds",
Mem. Amer. Math. Soc. No.220 (1979).
[Jo] K. Johannson, "Homotopy equivalence of 3-manifolds with boundaries",
Lecture Notes in Mathematics 761, Springer-Verlag (1979).
(1984).
[Th1] W. P. Thurston, "The geometry and topology of 3-manifolds", Princeton
University (1978).
[Th3] W. P. Thurston, "Hyperbolic structures on 3-manifolds I: Deformation
of acylindrical manifolds", Ann. Math. 124(1986), 203-246.



Free at last?
   这种相信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。在我们中间，常常听到这样的呼声：这里有一个数学问题，去找出它的答案，你能通过纯思维找到它，因为在数学中没有ignorabimus（不可知）！
                        —— David Hilbert
   要想彻底证明 Thurston 的几何化猜想，传统的几何、拓扑方法已经无能为力了，需要发展新的方法。1982年，Richard Hamilton (并非那位特别有名的19世纪爱尔兰数学家 Sir William Rowan Hamilton) 在[Ha]中提出了 Ricci flow 的概念，给几何化猜想带来一丝曙光。   所谓 Ricci flow，“流动”的是度量。在流形上随便给定一个初始度量，Hamilton让它随时间变化，并用一组偏微分方程来描述这种变化，这便是 Ricci flow. Hamilton期望，在特定的初始条件下，随着时间的增长，Ricci flow 能够流向比较“好”的度量。二十多年来，Hamilton 等人做了大量工作，使 Ricci flow 发展为微分几何里一种行之有效的方法。1996年，Hamilton 被授予 Veblen 奖，"for his continuingstudy of the Ricci flow and related parabolic equations for a Riemannian
metric"，与他同时获奖的是中国青年数学家田刚。   Hamilton 引入 Ricci flow 的一个非常明确的目标就是证明 Thurston 的几何化猜想。所以当2002年底，俄国数学家 Grisha Perelman 宣布他用 Ricci flow 证明了几何化猜想，从而解决 Poincar\&#39;e 猜想时，数学界的第一印象是：这件事是挺
合乎情理的。
   Perelman 总共有三篇文章。[Pe1]于2002年11月12日刊载在xxx.lanl.gov上；[Pe2]于2003年3月11日刊载在同一网站；第三篇文章则还没开始写。Perelman 声称世界上有三个人可以替他写这第三篇文章，不过他所指的三人之一却说自己不知道该怎么写。   Perelman 的文章立刻激起了数学界的广泛关注，许多大学邀请他去作报告，也有很多小组开始研读他的论文。审阅他论文的包括许多一流的微分几何学家，如Richard Hamilton, Richard Schoen, 田刚等。至今还没发现他有什么错误。以 MIT的两个小组为例，他们已经审阅完第一篇文章，第二篇还正在看。已经验证通过的部分包含很多有趣且重要的结论。所以即使最后发现有错误，也是一个非常了不起的工作。   目前数学界大部分人对此抱着比较乐观的态度，还没有人提出负面意见。甚至有人已经急着要分一杯羹了：据说 Hamilton 宣称，因为 Perelman 大量使用了他的工作(确是如此!)，所以那一百万美元得分他一半。不过笔者并不清楚 Hamilton 究竟是否说过这样的话，也不清楚他(如果说过)是以什么样语气说的。
   Perelman 曾到美国访问过三年，当时已经能获得很好的职位。但他为了能心无旁骛地研究几何化猜想，又回到俄国，销声匿迹长达八年之久，终于一鸣惊人。他原先在圣彼得堡，一个月只挣一百美元，日子过得很不容易。通常我们写论文，都会感谢某某基金会对自己提供的经济资助，但 Perelman 在[Pe1]中写道:"I was partially supported by personal savings accumulated during my visits to the Courant Institute in the Fall of 1992, to the SUNY at Stony Brook in the Spring of 1993, and to the UC at Berkeley as a Miller Fellow in 1993-95. I&#39;d like to thank everyone who worked to make those opportunities available to me."
   现在 Perelman 当然不愁吃穿了，还有好多美国大学抢着聘他去，他都不愿意。田刚说 MIT 找了几个俄国人劝他，试图向他证明 Boston 比圣彼得堡好。后来流传一个笑话说他迟早会去美国，因为俄国的 Mafia 比较多，知道他得了一百万美元后，他的安全会成问题……
   当然了，现在断言 Perelman 将会获得一百万美元的巨奖还为时过早。就算他的文章能够发表在权威数学刊物上，按 Clay 研究所的条件，还得两年无人指出其中错误才能获奖。但无论如何，Perelman 的工作是对微分几何的巨大贡献，我们也因此向着 Poincar\&#39;e 猜想的最后解决又迈进了一大步。
   也许我们真的就已经站在了终点上。
                                     (完)
参考文献：
[Ha] R. S. Hamilton, "Three manifolds with positive Ricci curvature", Jour.
Diff. Geom. 17(1982), 255-306.
[Pe1] G. Perelman, "The entropy formula for the Ricci flow and its geometric
applications", xxx.lanl.gov (2002).
[Pe2] G. Perelman, "Ricci flow with surgery on three-manifolds", xxx.lanl.
gov (2003).


庞加莱猜想-附录一:拓扑的初步概念


   天地有正气，杂然赋流形。
                      —— 文天祥
   Nicholas Bourbaki 先生认为数学中有三种基本结构：代数结构、拓扑结构、序结构。拓扑学(topology)是研究拓扑结构的数学分支，自然地，它在现代数学中就占据着重要的地位。为便于读者理解正文，作者将简要介绍一些拓扑初步概念，它们的确切定义可以参见任何一本拓扑入门教材，例如[Arm],[You]。[BE]则是一本很好的普及读物。   拓扑学最基本的研究对象是拓扑空间(topological space)。所谓拓扑空间就是一个集合，上面赋予了拓扑结构。更确切的定义不适合在这里写出来，读者只要知道：有拓扑结构后，“连续”这个概念就可以定义了。直线、平面、三维欧氏空间、各种
曲线、曲面、多面体……都可以作为拓扑空间的例子。
   拓扑空间之间可以定义连续映射(continuous map)。设 X,Y 是两个拓扑空间，f: X -> Y 是一个连续映射，如果f有逆映射，而且逆映射也是连续的，那么就说f是一个同胚映射homeomorphism)，并且说X与Y同胚(homeomorphic)。比如，不同大小的两个球面就是同胚的，它们跟凸多面体的表面也是同胚的。拿一个曲面，即使把它捏瘪，或者再揉一揉，但只要不撕破，不把原先不相连的两小块粘到一起，这个变化后的曲面和原来的还是同胚的。可以想象，在同胚变换下，几何对象的很多性质都会改变，如距离、角度等，但仍然有一些性质保持不变，拓扑学就要研究这些不变的性质。   同伦等价(homotopy equivalent)是拓扑学中所关心的另外一种等价关系，它的要求比同胚更宽松。取一个拓扑空间，对它进行某些特定的连续形变，所得到的空间与原来的空间是同伦等价的。举个例子：初始空间是一个实心球，我们可以把它压缩成一张没有体积的圆盘，再搓成一条没有面积的线段，甚至挤成一个连长度都
没有的点，得到的这些空间都跟原来的同伦等价；我们也可以从原来的实心球里“长”出半个圆盘来作为“耳朵”(半圆盘的直径还贴在实心球表面上)，甚至再“长”出几条线段来作为“触角”(线段的一端在实心球表面上)，所得到的空间还是跟原来的同伦等价。“终结者2”里面那个给人深刻印象的液体机器人，它在身体没有撕裂开的情况下的各种形态就是同伦等价的。
   虽说拓扑学可以研究非常一般的“拓扑空间”，但拓扑学家最关心的还是流形的拓扑。“流形”(manifold)的概念最早是在1854年由 Riemann 提出的(德文Mannigfaltigkeit)，现代使用的流形定义则是由 Hermann Weyl 在1913年给出的。江泽涵先生对这个名词的翻译出自文天祥《正气歌》，日本人则将之译为“多样体”，二者孰雅孰鄙，高下立判。   流形定义为满足Hausdorff公理(这里不作介绍了)的拓扑空间，每个点的局部都同胚于n维空间 R^n. 按定义，R^n 本身就是一个流形；圆周是流形，每点的局部都有一段弧同胚于 R^1；各种曲面都是流形，局部同胚于 R^2. 如果忽略黑洞之类的奇点的话，我们所处的宇宙也是一个流形：无论你处在哪一个时空点，环顾一下四方，
总觉得周围就是普通的三维空间 R^3，再算上时间这一维度，局部也还是 R^4，不会有分岔的现象发生。
   古人对世界的看法没有我们这么先进，提出的大部分宇宙模型都是有限的，而且有边界。盘古开天辟地，轻清者上浮而为天，重浊者下凝而为地。《三国演义》里秦宓难张温，问“又未知轻清之外，还是何物？”张温便无言以对。这种有边界的宇宙模型，用拓扑的语言来说，就是一个“带边流形”。带边流形的边界是比它本身低一维的(无边)流形。例如圆盘是一个二维带边流形，它的边界是圆周；实心球是三维带边流形，边界是球面。
   读者在微积分里可能会碰上“紧致”(compact)的概念。对流形来说，紧致就是任何点列都有收敛子序列。球面、环面、实心球、圆盘等都是紧致的，但R^n就不紧，因为其中能找到一串点趋向于无穷远。紧致性某种程度上相当于有限性。科普读物里讲到现代宇宙模型，经常会说它是“有限而无界”的，然后费半天唇舌来解释。其实用数学语言说，就是“紧致而无边”。紧致无边流形称为闭closed)流形。
   另一个经常会见到的概念是可定向性(orientability)。不可定向流形最简单的例子是科普读物里经常出现的 M\"obius 带。它是一张只有一个侧面的曲面，蚂蚁在上面爬一圈后就到了原来所处位置的另外一“侧”。不过这种说法依赖于外围空间，并不能非常确切地反映不可定向性，笔者倒觉得科幻小说里常出现的一幕拿来描述定向更为合适。科幻小说中经常会有人到宇宙深处旅行一圈后发现自己的左右颠倒了，这实际上就是说宇宙是一个不可定向流形。读者可以自己做一个实验：假定 M\"obius
带就是某种二维生物的宇宙，让这个二维生物在上面旅行一圈，然后就会发现它的左右颠倒了。可定向流形则是这样的一个“宇宙”，无论你在里面怎么旅行，回到原来的出发点后都不会出现左右颠倒的现象。
   研究拓扑的一种方法是把拓扑问题转化为代数问题。最常见的例子是计算一个拓扑空间各个维数的同调群(homology group)和同伦群(homotopy group)，然后根据这些群的性质推断拓扑空间的性质。一维同伦群又叫做基本群(fundamental group)。如果空间的基本群是只包含单位元素的平凡群，就称它是单连通的(simply-connected)。参考文献：
[Arm] M. A. Armstrong, "Basic topology", Springer-Verlag(1983). 中译本：
“基础拓扑学”，孙以丰译，北京大学出版社 (1983).
[BE] 巴尔佳斯基(Болтянский,В.Г.), 叶弗来莫维契(Ефремович
(1999).
[You] 尤承业，“基础拓扑学讲义”，北京大学出版社 (1997).



庞加莱猜想-附录二:几何的基本观点


   神乃几何学家。
                    —— 柏拉图
   德国大学有一个传统：任何人在获得教职时必须发表就职演说。1854年，被聘为G\"ottingen 大学讲师的 G. F. B. Riemann 向上级提交了三个题目作为候选的就职演说标题。按惯例，上头将会在前两个题目中选择一个，所以 Riemann 只认真准备了前两个。但 Gauss 选择的是第三个。Riemann 仓促准备后便上阵了，结果整个大厅里只有 Gauss 一个人听得懂。这篇演讲成为几何学史上里程碑式的文献：《论几何学的基本假设》(\"Uber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grundeliegen)。
   在这篇演讲中，Riemann 提出了流形的概念，并且指出：流形上赋予一个度量后，便可以研究其几何性质，如长度、角度、曲率等等。当时已经存在了两千年的球面几何和欧氏几何，以及新兴的双曲几何，都可以归结到 Riemann 的观点下来，即，曲率分别为常数+1,0,-1的几何。   1872年，23岁的 Felix Klein 在就任 Erlangen 大学教授时，发表了另外一篇对几何学影响深远的就职演说，这便是后人所说的"Erlanger Program"。Klein 提出，几何学所研究的是空间在变换群作用下不被改变的性质，并可以据此对几何学进行分类。例如，球面几何研究的就是 S^n 在群 O(n+1) 作用下不改变的性质，而欧氏几何研究的是 R^n 在平移、旋转、反射等变换下不改变的性质。   Riemann 和 Klein 对几何学的认识代表着几何学的不同侧面。Klein 的观点更为古典一些。Riemann 的思想在提出后的六十年中一直没被充分理解，也没有得到足够重视，直到广义相对论诞生后，它才进驻到几何学的中心。
   时光跳转至20世纪70年代末。William P. Thurston 在研究三维拓扑的过程的中，提出了这样一个问题：按照 Klein 的观点，三维流形上可能有多少种有意义的几何？这个问题并不困难，梢加细致的讨论后，Thurston 得出答案：八种， 它们是：
S^3 (三维球面几何)
E^3 (三维欧氏几何)
H^3 (三维双曲几何)
S^2×E^1
H^2×E^1
Nil
Sol
几何。双曲几何，或称“非欧几何”，其创立过程在很多科普书籍里都有记叙(见[LZ])，
这里不再赘述。Thurston 的工作在某种程度上表明，大多数三维流形上都可以有双曲
几何，因而双曲几何对于三维流形便尤其重要。
参考文献：
[LZ] 李忠，周建莹，“双曲几何”，湖南教育出版社 (1991).
[Th4] W. P. Thurston, "Three-dimensional geometry and topology", Princeton
University Press (1997).



庞加莱猜想-附录三: 低维拓扑


低维拓扑
   代数拓扑和微分拓扑是数学的女王。
                     —— Jean Dieudonn\&#39;e
   按其研究方法，拓扑可分为代数拓扑、微分拓扑、几何拓扑。代数拓扑和微分拓扑一直是拓扑学的主流，而几何拓扑更注重几何直观。很难说这三种拓扑学之间有什么严格的界限，因为我们经常是综合使用三种方法的。
   二十多年来在数学里颇为热门的低维(2,3,4维)拓扑更多地属于几何拓扑的范围，因为传统的代数、微分方法在低维大多失效。关于为什么低维会比高维更困难，中科院数学所的李邦河院士认为有如下原因：
   一是 Whitney 技巧失效。这是微分拓扑的奠基人 Hassler Whitney 在三十年代引入的一种把流形嵌入高维空间的的方法。但如果两者的维数相差过小，就无法施行操作，原因在“维数的玩笑”一节中已经简略解释过。
   二是示性类失效。示性类(characteristic class)是同调群中的一些特定元素，可以反映流形的一些拓扑性质。但在低维情形，有意义的示性类非常少，能由此获得的信息也很少。例如可定向三维闭流形的各种常见示性类都是0，四维流形有意义的常见示性类也只有两三个。这使得代数拓扑的许多方法在这里都无能为力。
   以上都还是技术原因，按笔者理解，还有一个心理原因。在许多问题上，低维其实比高维容易得多(毕竟低维更容易想象，变化也更少)，但就因为这样，人们对低维问题的要求便更多更细，使低维时遇到的问题尤为困难。
   举个例子，流形的分类问题在二维时早已解决，三维情形还不知道能否解决，四维以上则是不可解的。事实上，任何一个有限表现(finitely presented)群都能实现为某个四维闭流形的基本群。如果我们能够对四维流形进行分类，那么我们当然就能对有限表现群进行分类，而这是不可能的：群论学家们已经证明了这种群的区分是“不可解”问题，也就是说，不存在一种能够在 Turing 机上实现的算法
判断任意两个给定的有限表现群是否同构。所以在流形的分类问题上，高维比低维更困难，但我们在高维只能满足于部分的解答，只是在低维才期望一个完全的解答。   传统方法在低维时无能为力，数学家们便引进了种种奇奇怪怪的方法，使低维拓扑同许多别的数学分支联系起来。我们在正文中已经谈过 Thurston 的工作. 几乎就在同时，丘成桐, Meeks, Schoen 等人把微分几何里的“极小曲面”引入三维拓扑，解决了一些基本的问题。Hamilton 的工作也算是将微分几何同三维拓扑联系在一起。
   四维拓扑里则是另外一番景象。就在 Freedman 证明四维 Poincar\&#39;e 猜想后几个月，Atiyah 的学生 Simon K. Donaldson 在他的博士论文中利用 Yang-Mills场找到了一组四维流形的不变量。Donaldson 不变量是微分拓扑的不变量，因而能够区分一些同胚但不微分同胚的四维流形。很快，Freedman 就用 Donaldson 的结果发现了 R^4 上有不同的微分结构，后来人们又发现 R^4 上有无穷多种不同的微分结构。(微分结构是流形上的一种结构，它使我们能像在通常的欧氏空间中一样在
流形上作微分。) 这是一个非常令人吃惊的结论，因为在 n≠4 时，R^n 上都只有唯一的微分结构。Donaldson 的工作揭示了我们所生活于其中的四维空间的一些与其它维数空间不同的深刻性质，而且将四维拓扑与规范场论联系到了一起，他本人因此获得1986年的 Fields 奖。   Donaldson 的理论吸引了大批数学家去研究，90年代初曾召开过一次这方面的国际会议，有超过两百人参加。但 Donaldson 理论需要解SU(2)丛上的非线性偏微分方程，计算十分困难，经过十年左右的努力，数学家们才摸到一些计算的门道。 1994年，Edward Witten 提出了一种新的不变量：Seiberg-Witten 不变量。在 Seiberg-Witten 理论中，只需要解U(1)丛上的非线性偏微分方程，困难程度远
比 Donaldson 理论低，按 Taubes 的说法，"at least a thousand times easier".但令人惊诧的是，它的威力与 Donaldson 理论不相上下，Witten 甚至能够从物理上说明它们是等价的。   嗅觉敏锐的数学家们迅速扑向这个新理论，大量问题和例子瞬间被解决。如著名的关于嵌入曲面亏格的 Thom 猜想，有四五组人几乎在同时用 S-W 理论给出了证明。到1995年的春季学期，许多大学已经开设了讲授 S-W 理论的研究生课程；到1996年，则有好几本关于 S-W 理论的专著面世，如[Moo],[Mor].   Seiberg-Witten 理论的一个严重后果是：除了少数动作最迅猛的人以外，其余早先研究 Donaldson 理论的专家基本上都失业了，据说还有人因此而自杀。而且Seiberg-Witten 不变量的计算实在太容易，(相对于 Donaldson 理论，) 以致于那些好做的、有趣的问题在一两年内就全被人解决了。近年来 Seiberg-Witten 理论虽然也有一些发展，但已经远不如它刚诞生时那样引人注目。当然这方面的研究仍有很多，上学期 Princeton 就开设了两门 S-W 理论的研究生课程。Anyway, 包括田刚在内的很多人都相信，四维拓扑在不远的将来还会迎来一次新的高潮。   低维拓扑与其余数学(或科学)分支的最令人惊异的结合发生在纽结理论中。纽
分方程，计算十分困难，经过十年左右的努力，数学家们才摸到一些计算的门道。   1994年，Edward Witten 提出了一种新的不变量：Seiberg-Witten 不变量。在 Seiberg-Witten 理论中，只需要解U(1)丛上的非线性偏微分方程，困难程度远比 Donaldson 理论低，按 Taubes 的说法，"at least a thousand times easier".但令人惊诧的是，它的威力与 Donaldson 理论不相上下，Witten 甚至能够从物理上说明它们是等价的。   嗅觉敏锐的数学家们迅速扑向这个新理论，大量问题和例子瞬间被解决。如著名的关于嵌入曲面亏格的 Thom 猜想，有四五组人几乎在同时用 S-W 理论给出了证明。到1995年的春季学期，许多大学已经开设了讲授 S-W 理论的研究生课程；到
1996年，则有好几本关于 S-W 理论的专著面世，如[Moo],[Mor].   Seiberg-Witten 理论的一个严重后果是：除了少数动作最迅猛的人以外，其余早先研究 Donaldson 理论的专家基本上都失业了，据说还有人因此而自杀。而且Seiberg-Witten 不变量的计算实在太容易，(相对于 Donaldson 理论，) 以致于那些好做的、有趣的问题在一两年内就全被人解决了。近年来 Seiberg-Witten 理论虽然也有一些发展，但已经远不如它刚诞生时那样引人注目。当然这方面的研究仍有很多，上学期 Princeton 就开设了两门 S-W 理论的研究生课程。Anyway, 包括田刚在内的很多人都相信，四维拓扑在不远的将来还会迎来一次新的高潮。   低维拓扑与其余数学(或科学)分支的最令人惊异的结合发生在纽结理论中。纽结理论(knot theory)是一门研究绳子打结方式的数学分支，它最早是由物理学家William Thomson (Lord Kelvin) 于19世纪末开始研究的。那时普遍认为世界是
由“以太”构成，Kelvin 勋爵提出一种假说：以太在空间中产生旋涡，就像抽烟时吐出的烟圈一样。旋涡可以打结，不同种类的结表示不同的化学元素。于是物理学家们便开始研究纽结，并编制出了最早的纽结表。后来以太说被摒弃，物理学家不再理会绳子如何打结，倒是数学家出于纯数学的兴趣研究它了。纽结理论早期的研究进展记叙在一本被誉为"godgiven"的书[Ro]中，[Jia]则是一本很好的普及读物。   在低维拓扑进驻数学核心的同时，算子代数里也在发生着由 Alain Connes 领导着的一场革命，新西兰数学家 Vaughan Jones 就是这场革命中的一员年轻干将。一次，Jones 作一个学术报告，台下听讲的拓扑学家 Joan Birman 指出，他所写的一组公式跟纽结理论里的一些公式非常相象。Jones 同 Birman 作了长谈，自己又回去刻苦研究，终于发现了两者之间的内在联系。他利用 von Neumann 代数，提出了一种新的纽结不变量：Jones 多项式。 Jones 多项式是一种威力强大的纽结不变量，但它并不复杂，后来 Kauffman甚至提出了一种完全初等的看法，高中生便能读懂。所以很多人对 Jones 因此获得1990年的 Fields 奖都感到很不以为然。但通过这么简单初等的多项式，Jones 把纽结理论与算子代数这两个看上去完全没有关系的的两个数学分支联系到了一起，进而使得纽结理论同量子群、李代数、统计力学、量子场论等许多数学和物理分支发生了密切关系。
   世界上有两种伟大的数学工作，一种是给很多人创造了饭碗，还有一种砸掉了很多人的饭碗，通常前一种更容易获得 Fields 奖。Jones 多项式无疑属于前一种，由此甚至产生了一门被称为“量子拓扑学”的数学分支，发表了无数论文和专著。Jones 多项式后来还有很多推广，比较有名的是由 Hoste, Ocneanu, Millett,Freyd, Lickorish, Yetter 和 Prztycki, Traczyk 等人提出的 HOMFLY-PT 多项式，Witten 利用拓扑量子场论提出的 Witten 不变量，以及 Vassiliev 不变量。
参考文献：
[Jia] 姜伯驹，“绳圈的数学”，湖南教育出版社 (1991).
[Moo] J. D. Moore, "Lectures on Seiberg-Witten invariants", Lecture Notes
in Mathematics 1629, Springer-Verlag (1996).
[Mor] J. W. Morgan, "The Seiberg-Witten equations and applications to the
topology of smooth four-manifolds", Princeton University Press (1996).
[Ro] D. Rolfsen, "Knots and links", Publish or Perish (1976).

ryuli

生平、背景 楼上的说的很清楚了。我来copy点周边的“旧闻”

庞加莱(Poincare)猜想相关....  ^;^

★七个难题

美国麻州的克雷(Clay)数学研究所在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。以下是这。 　

1.P (多项式算法)问题对NP (非多项式算法)问题 　
2.霍奇(Hodge)猜想 　
3.庞加莱(Poincare)猜想 　
4.黎曼(Riemann)假设 　　
5.杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口 　　
6.纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性 　　
7.贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想 　

★Poincare猜测与奖励

是关于空间结构的一个最著名猜测，有100 多年历史。2维和4维以上情形均被解决，并有两名西方数学家因此而获数学的诺贝尔奖“Fields”奖。该奖极为难得，只奖40岁以下全世界最优秀的数学家。每4年只奖2，3个人。华人目前只有丘成桐教授获得。可见此问题之重要，可列人类有史来前十位的重要数学问题。美国Klein数学会悬赏百万美金给解决此问题的数学家。该问题只剩最困难的三维情形长期无人解决，这也说明了我们生活的三维空间是最神奇奥妙的，上帝一定是出色的数学家。 幸运的是这个问题最终被中国人解决了，证明用了300多页。大家为此欢呼吧！

★非線性三體系統的可測性

目前在自然科學界興起的一個熱門研究方向叫「渾沌」（Chaos）。這一研究揭示一些極簡單的系統有驚人的複雜性和不可測性。自十八世紀以來，很多科學家耗費大量人力、財力研究由太陽、地球和月亮組成的三體系統的穩定性問題，但至今未得到答案，對這樣一個體系，有兩種對立的見解。一種以龐加萊（Poincare）為代表，認為其系統是不可預測的。另一方則以拉普拉斯(Laplce）為首。他說。「如果我們知道宇宙每一顆粒子在某一特定時刻的準確位置和速度，便可以計算出宇宙的過去和未來。」這是一種機械唯物論，認為整個宇宙都是受機械律支配的。現在科學的發展和量子力學的確立，證明龐加萊的觀點是正確的。

★Poincare猜想是怎么提出的
  1904年，当时世界上最具权威的数学家，同时也是法国有史以来最伟大的数学家Henri Poincare在研究拓扑流形基本群的时候提出了一个猜测，是否每个3维的紧致无边的单连通流形必同胚于3维球面。这就是现在纯粹数学领域最著名的未解难题之一的Poincare猜测。

   要知道在Poincare的年代，流形研究才刚刚起步，流形的很多基本问题，甚至有些概念都还不十分清楚。那时Poincare可以说是单抢匹马的在搞流形拓扑学研究，主要工具就是他自己开创的同调群和基本群，因此Poincare是公认的代数拓扑的开山鼻祖。

   早在1901年的时候，Poincare就提出过一个有关流形拓扑的猜测，每个可单纯剖分的流形若具有和n维球面同样的同调群，则它必同胚于n维球面。后来在1904年的时候Poincare自己给出了一个反例，M^3=SO(3)/I^60。其中M^3的基本群的阶数是120。

   1934年，代数拓扑学大师Whitehead在研究Poincare猜测的过程中提出一个命题，是否每个可缩的3维非紧致拓扑流形必同胚于欧氏空间。不久，Whitehead从Poincare的文章中获得启发，给出了一个反例，推翻了以上命题。他的工作还是大大推进了人们对流形拓扑学的认识。

   对于4维以上的流形，Poincare的问题很容易看出不对，比如S^2*S^2和S^4不同胚。但是我们有对应的广义Poincare猜测，即和n维球面同伦等价的n维紧致流形必同胚于n维球面。

   n=3时广义Poincare猜测和经典Poincare猜测等价。
   n>4的广义Poincare猜测被Smale在1960年证明。
   n=4的广义Poincare猜测被Freedman在1982年的文章中证明。

   20世纪五，六十年代是流形拓扑的黄金时期。这从那时候的Fields奖得主就可以看出来。人们发现5维以上流形的拓扑比较简单，原因就在于2维圆盘到5维以上流形的映射像总是可以做到是不自相交的。这个就使得基本群的使用相对简单。

   3维流形在近代的突破性贡献是Thurston作出的，Thurston有一个关于3维流形分类的著名猜测是说，每个3维流形都可以沿着2维球面和环面进行本质上唯一的切割，从而分成具有简单几何结构的几何片。这些几何片必是8种具有双曲度量的3维流形之一。

   Poincare猜测只是Thurston猜测的一个特例。

★李伟光（Peter Li）

　　几何分析学家，1979年师从陈省身先生在加州大学伯克利分校获得博士学位，现加州大学Irvine分校数学系首席教授。在流形热核，特征值估计等领域有重要的贡献。他与丘成桐在抛物方程估计的开创性工作，直接导致了Hamilton在Ricci流的研究成果和最近Perelman应用Ricci流证明Poincare猜测的突破性工作，。曾获P. Sloan研究奖与Guggenheim基金会奖，应邀在2002年北京国际数学家大会上作45分钟报告。

曾燕环

七大世纪数学难题”之一的庞加莱猜想，近日被科学家完全破解，而且是中国科学家完成“最后封顶”工作??中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学讲席教授曹怀东以一篇长达300多页的论文，给出了庞加莱猜想的完全证明。（6月5日《中国青年报》）

这本是一则理当国人共喜同贺的重大事件，然而，却被一些冷观者泼下一瓢瓢冷水。我还真担心，如此冷了数学家们的心。

笔者注意到，除了《大河报》等少数媒体发表了正面肯定的《证明“庞加莱猜想”是民族的荣耀》等评论外，大多数评论对中国数学家完全证明“庞加莱猜想”表现出了出奇的冷漠。奥一评论发表的林金芳评论《“庞加莱猜想”背后的弱国心态》就是一例。（6月5日《奥一网》）

在学术研究的艰辛历程中，科学家理所应当摒弃急功近利的浮躁情绪，保持平常心态，这往往是科学家攻克重大难题的思想前提。但这绝不等于我们的科学家就是与世隔绝的世外超人，毫无个人情感；这也不等于我们的科学家能完全不受外物影响，能绝对地宠辱不惊。可以说，如果说现实中真有这样的人的话，这样的人也是不可能真有事业心，更不可能真有成就的。正因为有着为民族争光之类的情感激励，我们的科学家才更有动力更有信心攻克一个个重大难关。我相信，这些破解“庞加莱猜想”的数学家们也不例外。

现在，我们高呼“中国人证明了庞加莱猜想”，这就是弱国心态？这种愚蠢的推断实在滑稽，更实在是一种条件反射般的过敏性反应。有此种论调者从根本上说是一种强烈的民族悲观主义者，是一种真正的弱国心态者，他们的眼中看不到民族的前进的一个步伐，看不到社会进步的一个亮点，在他们看来，我们无论取得何等成就都是不应进行宣扬并引以为骄傲的。在他们心目中，我们是“弱国”，什么都不值一提，什么进步都不能与强国同日而语。因为有着这样的灰色心态，当别人为祖国取得的成就而欣喜的时候，当别人萌发民族自豪感的时候，他们就不能接受了。于是，想当然给欣喜者、自豪者扣上“虚荣”的帽子。

就中国数学家证明“庞加莱猜想”这一事件来说，中国科学家也表现出了作为科学家应有的冷静和低调，并表示证明还将继续经受论证。但这应该来说只是科学家的一种谨慎。我们的评论者在无法否定这一成果的的前提下，首先不是应为此而欣喜吗？

没有居功自傲，没有妄自揽功，而是客观地、条分缕析地分清中外数学家的贡献大小，这位数学家说，如果按百分之百划分，那么美国数学家汉密尔顿的贡献在50％以上，提出解决这一猜想要领的俄罗斯数学家佩雷尔曼的贡献在25％左右。“中国科学家的贡献，包括丘成桐、朱熹平、曹怀东等，在30％左右。”这也成了“弱国心态”的例证？

我们是发展中国家，我们确实与发达国家在某些方面存在较大差距，即便退一步说，我们真的是“弱国”，那也是不能有“弱国心态”的，应有的就是冷观者所说的“平常心态”，而真正的“平常心态”恐怕也不是像冷观者样出奇的冷漠，出奇的敏感吧。

就中国数学家对庞加莱猜想的完全证明来说，只要不喜极生悲，我们该欣喜就欣喜，该自豪就自豪，这才是正常的心态。相反，如果漠视既定的成绩，无动于衷，甚至麻木不仁，那将是很可怕的，更说不定伤了数学家们的心。

曾燕环

如果按百分之百划分，那么美国数学家汉密尔顿的贡献在５０％以上，提出解决这一猜想要领的俄罗斯数学家佩雷尔曼的贡献在２５％左右。“中国科学家的贡献，包括丘成桐、朱熹平、曹怀东等，在３０％左右。”

曾燕环

朱熹平，男，１９６２年６月生，广东始兴人，汉族，１９９３年４月加入中国共产党，１９８４年１２月参加工作，博士研究生学历，教授，博士研究生导师。１９７８年—１９８２年在中山大学数学系学习。１９８２年—１９８４年在中山大学数学系硕士研究生学习。１９８４年—１９８６年为中山大学数学系助教。１９８６年—１９８９年在中国科学院武汉数学物理研究所博士研究生学习。１９８９年起在中山大学数学系任教，１９９１年３月破格晋升为副教授、１９９３年破格晋升为教授，１９９７年１２月任数学与计算科学学院副院长，２０００年１月至今任数学与计算科学学院院长。
    1991年获中国科学院自然科学二等奖，于1997年入选教育部“跨世纪人才培养计划”，1998年获国家杰出青年基金，列入1999年度国家人事部“百千万人才工程”第一、第二层次人选，并于2001年被聘为教育部“长江学者奖励计划”特聘教授。朱熹平教授较长期进行国际前沿的核心数学中几何分析领域的研究，2004年获得全球华人数学家大会颁发的晨兴数学银奖。

曾燕环

此项不能随便公平，只供版主及威望高者看！所以设置威望值，版主看见内容应该会体谅我的！而且有些内容我也删除了！


（失败之后编辑补充)呵呵，没办法完成了，我想对附件加密，但是我不懂得对附件如何加密，所以我将附件删除了,我原来以为可以象"[hide]附件[hide](再加/)",但是文字可以，附件我拿它没辙，愿向各位求教！
兄可对附件用威望加密,在传威望的地方有这个选项

长歌－废墟

　　对某些所谓数学家的评价我的看法是吃不着葡萄说葡萄酸，数学定理的证明本不能以谁贡献多少来评价，他有本事也证明什么去！，简直是废话！
另：特别喜欢楼上的兄台引用的希尔伯特的名言：）