问答 （数学趣味类）《电灯开关》√已有答案√欢迎拓展和应用√

如上：对100只电灯及开关编号为1～100，所有开关朝上(开)。然后进行以下操作：凡是1的倍数的灯向反方向拨一次开关；2的倍数的向反方向又拨一次；3的倍数的再向反方向又拨一次……
问：最后为关熄状态的灯有几只，编号是多少？

mizhitu

关熄状态的灯有10只；编号：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100

1倍   00000000000000000000000000……
2倍   01010101010101……
3倍   011100011101110……

……[/hide]

秋水小柯

只有编号为1、4、9、16、25、36、49、64、81、100这些平方数的灯会熄灭。
因为只有这些数的因数为奇数，所以开闭奇数次，最后熄灭，其他的数因数均为偶数，最后还是打开的[/hide]

共有10盏，编号为1、4、9、16、25、36、49、64、81、100。

就某个亮着的灯而言，如果拨其开关的次数是奇数次，那么，结果它一定是关着的。根据题意可知，号码为N的灯，拨开关的次数等于N的约数的个数，约数个数是奇数，则N一定是平方数。[/hide]

fferror

结论：
编号为平方数的灯最后是熄灭状态，即1，4，9，16，25，36，49，64，81。

分析：
考虑1~100这100个数各自因数的个数即可。一开始是开的状态。最后关着的，就是具有奇数个因数的数。而对于任何一个非平方数，比如8，它的因子有1,2,4,8，注意到：8 = 1 * 8 ，8= 2 * 4。就是说，8的因子是成对的。而只有平方数的因子是奇数个。比如9有因子1,3,9。因为9 = 1 * 9，9 = 3 * 3，平方根3出现了两次。

P.S.： MS的面试老题，没什么挑战性。[/hide]

0.618

个人以为题目不够严谨
如上：对100只电灯及开关编号为1～100，所有开关朝上(开)。然后进行以下操作：凡是1的倍数的灯向反方向拨一次开关；2的倍数的向反方向又拨一次；3的倍数的再向反方向又拨一次……
不是很明白，省略号是表示对以上操作循环呢还是照此往下：4的倍数加多一次，5的倍数再加一次……

这样下来，结果就有所不同了

fferror

省略号表示“按照上述方式方式直到‘100的倍数的再向反方向又拨一次’”。

horky

题目分析：看每个数的因数数量。只有一个因数的（如“1”）被打了一次，最后是熄的；只有两个因数的（如“质数”）被打两次，最后是亮的；有三个因数的（如“平方数”），最后是熄的；有四个因数的……以此类推，1到100中因数的个数是单数的最后为熄，因数个数是双数的，最后为亮。而因因数是单数的数字，只有N的偶数次方的数。而N的偶数次方总是别一个数M的平方，所以，只要是平方数，最后的状态就是熄的。

简单地说就是：
只有是平方的数是关的 即 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 是关的 其余都是开着的！

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磁铁

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