探索 趣味数学类 一个圆绕另一圆的旋转问题

hsq2516941

　　黄容做数学题系列之一
　　一日，且说郭靖、黄容带上郭襄、郭芙、杨过、大武、小武等共9个小朋友回娘家。一路上大家有说有笑，小朋友们则格外兴奋，再加上功夫了得，前跑后跳，叽叽喳喳，热闹非凡，杨过手中拿着两个大小一致，外面是圆形、中间是方形的铜钱，边走边把玩着。他把一枚铜钱沿外边绕着另一枚铜钱滚动，他发现了一个问题，于是说：“大家别闹了，我有一个问题弄不清楚，大家帮看看，就是我现在有两枚铜钱，固定一个不动，把另一个不滑动的绕这个铜钱滚动一圈，则外面的滚动的铜钱旋转了几圈？”
郭芙说：“这还不简单，也是1圈！”
郭襄说：“好象不止1圈？！”
大武、小武还有其它小朋友则干脆拿出铜钱做实验旋转了起来。要想做实验，真正做到不滑动，谈何容易，手稍一抖动，两个铜钱就开始打滑，也没有得出个所以然来，但是得到至少不止1圈，也有人坚持转动了1圈的。
究竟是转动了多少圈呢？众人莫衷一是。
亲爱的朋友，你能帮助小朋友们解答这个难题么？请给出你的解答。


PS。1、本故事纯属虚构，若有雷同，纯属巧合。前面的贴子没有看完，若有出过类似的题，请版主删除。
　　　2、第一次出数学题，有不妥之处请指出。

引用第7楼oujunzhu于2008-03-29 20:04发表的 :
让大家扩展一下，求出一个一般规律。如果大小不一的两个圆，小圆内贴大圆转动，小圆外贴大圆转动效果如何？总之求出移动的圆心轨迹就可以了。

正确。
这个还需要证明一个更一般的结论，动圆上的任何一点移动的路程是相等的，有了这个结论后，就可以找动圆的心来代替其余点的旋转路程。但是我只知道这个结论，没有证明的方法，欢迎证明这个优美的结论。欢迎继续思考。。。。

shinbade厉害！
学习了。。。
更进一步的扩展：若定圆与动圆的半径之比为n∶1时，
若动圆在外面无滑动的绕定圆旋转一圈，其转动的圈数为n＋1圈，
此时n＞0；
若动圆在里面无滑动的绕定圆旋转一圈，其转动的圈数为n－1圈，
此时n＞1，因为小于等于1，动圆放不进去，就无从转起了。
欢迎继续讨论。。。。。

hsq2516941

答案：2圈。
理由：如果一个圆绕着一点旋转，要回到原来的位置，需要旋转1圈。现在那个点变成一个圆，且与旋转中的圆的半径相等。故需要再旋转1圈，共两圈。

这里贴上我教的前一届的学生关于这个问题的一段对话，算是对这个问题以放“慢镜头”的方式进行了解析。

kinglovecn

1圈

ylqcgg

把外面的看成静止。静止不动的钱就是围绕外面的转，所以都已一圈

也可以这么理解，相对不滑动，那么就是 各个走的路程一样 都是一周

hsq2516941

2楼，3楼的答案不正确，欢迎继续思考。。。。

这个题以前作过了，我的答案是两圈，不知标准的答案是多少。

外面的圆转一圈后，公转了一圈，同时自转也正好是一圈。


推理如下：

一个圆沿着直线转一个周长的距离，则自身旋转是一圈。

现在的题目是沿着圆来转，就增加了一个公转，也是一圈。

mark_han

是2圈
如图：
黄色的圆（以下简称黄）绕绿的圆（以下简称绿）一圈，圆的中点轨迹就是那个大圆
黄和绿的半径为R，大圆半径就为2R
假如把大圆展平成一直线，那么黄的中点移动的距离就是大圆的圆周距离4Rπ
然后根据一般规律，圆每转一圈和圆心移动2Rπ时间是相等的
所以黄是转了两圈

oujunzhu

让大家扩展一下，求出一个一般规律。如果大小不一的两个圆，小圆内贴大圆转动，小圆外贴大圆转动效果如何？总之求出移动的圆心轨迹就可以了。

wsbswdx

2 圈，动铜钱绕自身圆心旋转了720 度,自转角度要和公转角度相加的.

hsq2516941

引用第5楼shinbade于2008-03-29 17:58发表的 :
这个题以前作过了，我的答案是两圈，不知标准的答案是多少。

外面的圆转一圈后，公转了一圈，同时自转也正好是一圈。


.......

正确，可以进行这样的解释。。。

hsq2516941

引用第6楼mark_han于2008-03-29 19:49发表的 :
是2圈
如图：
黄色的圆（以下简称黄）绕绿的圆（以下简称绿）一圈，圆的中点轨迹就是那个大圆
黄和绿的半径为R，大圆半径就为2R
假如把大圆展平成一直线，那么黄的中点移动的距离就是大圆的圆周距离4Rπ
.......

[quote]引用第7楼oujunzhu于2008-03-29 20:04发表的 :
让大家扩展一下，求出一个一般规律。如果大小不一的两个圆，小圆内贴大圆转动，小圆外贴大圆转动效果如何？总之求出移动的圆心轨迹就可以了。[/quote
正确。
这个还需要证明一个更一般的结论，动圆上的任何一点移动的路程是相等的，有了这个结论后，就可以找动圆的心来代替其余点的旋转路程。但是我只知道这个结论，没有证明的方法，欢迎证明这个优美的结论。欢迎继续思考。。。。

拓展题很有意义！

一、七楼的拓展与历史上的一个名题“卡丹的转盘问题”有密切关系。
先停下来说一下这个卡丹，此人在数学史上因“三次方程”的丑闻、同时留下了所谓“卡丹公式”而很有名。

卡丹的转盘问题：当一个圆盘沿着一个半径是它的两倍的圆盘内壁无滑动地旋转时，小圆盘上一点画出怎样的图形？

楼主的题目，一方面是卡丹问题的扩大——小圆半径不限于大圆的一半；另一方面，又是卡丹问题的缩小——楼主只要求求圆心的轨迹。

卡丹问题的解：轨迹一般是一个椭圆，只有小圆的边缘上的点的轨迹，则正好是一条直线。

二、七楼扩展以后，其问题的答案，称作“内摆线”（小圆在大圆内部旋转）和“外摆线”（小圆在大圆外部旋转）。
内、外摆线的推导方法，采用的是参数方程的解析几何方法，应该不难找到吧。

jingmouren

把固定不动的那个圆在起点处剪开
并拉直

就容易得到解析形式解

拉直后的圆的长度是知道的
动圆上欲求点的轨迹可以解析表示
求出左边弧线的长度就是了

不过这个解法不适合给中学生讲, 好像

这个解法好像也适用于解
如果大小不一的两个圆，小圆内贴大圆转动，小圆外贴大圆转动效果如何？总之求出移动的圆心轨迹就可以了。
这个扩展问题

含笑饮砒霜

蛮有趣的哦

简单讲就是滚动的环的圆心运动的距离吧

把内、外摆线的参数帖出来，同时，帖两张图，显示动圆旋转时，其上一点的轨迹——即内摆线或外摆线。
     
拓展一下摆线的知识。摆线，在历史上有非常重要的地位。
1696年，贝努利（此家族有叔侄三人成为著名科学家，其中还有一位就是流体力学中的“贝努利方程”的导出者！这个贝努利方程，可以用来解释足球中的“香蕉球”、乒乓球中的“弧圈球”的优美弧线……）提出一个问题：当一个质点在重力的作用下沿着一条曲线下落，不计阻力的话，这条曲线应该是什么样子，才能使质点下落时间最短？

这个问题就是历史上著名的“最速降线”问题！后来，一大批聪明的数学家都参加求解，说出这些人的名字都吓你们一跳：牛顿、莱布尼兹、约翰贝努利、雅各贝努利等。

大家的答案都一样：这个曲线就是我们这个题目中的答案——“摆线”。
所谓“摆线”，就是当圆在一条直线上运动时，圆上一点的轨迹！

我们让朋友在自行车外胎上粘上一片彩色的东东，让朋友在面前横着骑自行车，我们就能看到摆线的形状了。

最速降线问题中提到的“摆线”，还有我们这个帖子提到的“内摆线”“外摆线”，都属于“摆线大家族”，可以用一个统一的方程来表达。

关于以上内容，多年以前（九十年代初）我去上海出差，在淮海路的一家书店，偶然淘到了一本中学生课外读物的旧书，上面讲了很多关于曲线的故事。当时，以0.5元的价格买下了（即使以当时的人民币的价值来算，也算是便宜的了！）这本书，我一直留着呢……

qinshan1980

应该是一圈吧
把那个固定圆圈拉成直线
应该和动圆的周长是一样的

hsq2516941

提一下。。。。

hsq2516941

shinbade厉害！
学习了。。。
更进一步的扩展：若定圆与动圆的半径之比为n∶1时，
若动圆在外面无滑动的绕定圆旋转一圈，其转动的圈数为n＋1圈，
此时n＞0；
若动圆在里面无滑动的绕定圆旋转一圈，其转动的圈数为n－1圈，
此时n＞1，因为小于等于1，动圆放不进去，就无从转起了。
欢迎继续讨论。。。。。

含笑饮砒霜

奇怪 我的归纳怎么没人说说？呵呵

应该是最直观的吧？？！！

含笑饮砒霜

引用第15楼qinshan1980于2008-03-31 07:57发表的 :
应该是一圈吧
把那个固定圆圈拉成直线
应该和动圆的周长是一样的

思路或许是对的
但是结果是大错特错了