探索 趣味数学类-有关面积的问题（黄容之二）（含笑饮砒霜和shenxiu做了一回聪明

hsq2516941

黄容做数学题系列之二。。。



PS。本故事纯属虚构，若有雷同，纯属巧合。前面的贴子没有看完，若有出过类似的题，请版主删除。

hsq2516941

这是我在寒假做的，准备给八年级的孩子进行的课外竞赛讲座的一道例题。出这个题时是在医院里，当时的字母与现在题目中的字母有点不一样，也就难得去改字母了。弄清思路是重要的。弄过来时对于第一个步骤，刚查只弄了3种证法，郁闷。。。还有两种证法忙乱中没有弄过来。稍后补上。。。。

含笑饮砒霜

坐标法？？


想想就恐怖

liloveyou

找到这个题的做法了，可惜看答案都看不明白，见笑了，呵呵

jingmouren

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oujunzhu

看了一下答案,十分不容易。
不抄了，主要思路是一，证明四边形EFMN面积是四边形ABCD的三分之一；二，证明K,X是EN的三等分点，L，Y是FM的三等分点；三，证明四边形KLYX面积是四边形EFMN的三分之一（方法同步骤一）
可以看出关键是第二步。
题外话;
我们老祖宗老早就把这套用上了——井田制。

beetleszzm

假如是做选择题，那么我就直接用特殊法
既然是恒成立的，那么四边形取正方形，可以直接偷懒了

含笑饮砒霜

太难 玩不起了  

killl

实在是难，看论文：
http://www.51joystudy.com/sx9.htm

数学论文
----井田问题
　　问题：如图1，在一个不规则的凸四边形ABCD中，每条边上都取三等分点EF，GH，IJ，KL，再把两组对边上的三等分点连起来，等分线交点分别为M，N，O，P，成了一个“井”字形。“井”字把这个四边形分成了九块。求证：S四边形MNOP=1/9S四边形ABCD。
　　分析：直接证明不容易，就先一步一步证。先利用等底同高的三角形面积相等来证明S四边形GHKL=1/3S四边形ABCD。然后再证MN，OP分别是线段LG，KH上的三等分点，此时只要求出S四边形MNOP=1/3S四边形GHKL就行了。这样，一道难题就被化简成了三道小题，除了第二部分要用到一些技巧之外，其他两个小题都很容易。
　　反思：那么这道题目做完后，我们要进行回顾。现在我们要考虑的就是能不能做更难或更一般的问题？如：三等分点可以改成五等分点吗，或者横着三等分，竖着五等分；也可以考虑如果是四等份，六等份，问题怎样提法；还可以问除了中央一块，其他八块的面积能不能算？如不能计算，加上什么条件就可以算了？
　　推广：这些问题都可以解决，但是都要运用到一个重要的公式——定比分点公式。这个公式是由前面的题目的计算方法总结得到的。
　　公式及其证明：如图2所示，设线段PQ不与直线AB相交，T在线段PQ上，并且PT=λPQ，则△TAB=λ△QAB+（1-λ）△PAB。这个公式就是定比分点公式。要证明这个公式很容易，只要延长线段QP（或PQ）交BA（或AB）的延长线于M，就可利用三角形共边定理证明得到这个结论。
　　进一步推广：有了这个重要的公式，井田问题的第二部分就可以用这个方法解了，不但如此，以上的所有问题都可以利用这个公式来解。
　　分析：先考虑第一个问题，就是把三等分改成五等分。道理跟三等分一样，在四边形ABCD中，A1，A2，A3，A4，C1，C2，C3，C4分别是线段AB，CD上的五等分点，见图3。求证的就是S四边形A2A3C2C3=1/5S四边形ABCD。证法是这样的：连AC，得S△A4BC+S△C4DA=1/5（S△ABC+S△CDA）=1/5S△四边形ABCD，再连A4C4，得S△A4CC1+S△C4AA1=1/4（S△AA4C4+S△CC4A4）=1/5S△四边形ABCD，所以S四边形A1A4C1C4=3/5S四边形ABCD。这样，问题又回到了原来的样子，得S四边形A2A3C2C3=1/5S四边形ABCD。
　　然后是第二个问题，也就是横着三等分，竖着五等分。这个问题只要运用到上一题的结论，就和一开始的那道井田问题一样了。
　　接着是第三个问题，如果横竖都是四等分或六等分，那中间四块的面积应该是总面积的1/4或1/9。如图4，要证得这个结论，也可以像证井田问题一样，先考虑简单的问题，再算难的问题。证法与前面的相同。这里就不多讲了。
　　最后一个问题，也是最难的一个问题。还是回到原来的井田问题中，如图1，就是在井田问题的基础上在添加几个条件，求出另外八个四边形的面积。
　　我是这样想的，要确定另外八个四边形的面积，就要先确定下来这个大的四边形ABCD。经研究，发现要确定一个四边形，就要知道这个四边形的四条边加两个角或三条边加三个角。所以，要知道另外八个四边形的面积至少要确定这些元素。（一）当条件是四条边加两个角的话，不妨设已知线段AB，BC，CD，DA，∠A另一个角要分两种情况。（1）已知∠B（或∠D）连BD，就可以算出BD，　　∠BAD，∠DAB，又根据已知的线段BC ，CD，∠B（或∠D），可以求出∠C∠D（或∠B）。（2）已知∠C，也连BD，根据已知条件也可求得∠B，∠D。（二）当条件是三条边，三个角时，不妨设已知线段AB，BC，CD，∠B。另两个角无论是哪两个，都只要连BD，就可求得这四个角和另一条边。所以，通过这几个条件都可以求得四边形ABCD的四条边和四个角。
　　接着，就要看已知四条边和四个角怎么求八个四边形的面积。我们先看四边形AEML，连AM，将四边形AEML分成两个三角形，它们分别是△AEM和△ALM。S△AEM=1/3S△ABM，而S△ABM的面积可以通过定比分点公式求得： S△ABM=1/3S△LAB+2/3S△GAB=1/3*1/2*LA*AB*sin∠A+2/3*1/2*AB*GB*sin∠B，得 S△AEM=1/3*（1/3*1/2*LA*AB*sin∠A+2/3*1/2*AB*GB*sin∠B）（1）
同理，可以求出： S△ALM=1/3 S△ADM=1/3*（1/3*1/2*AE*AD*sin∠A+2/3*1/2*AD*DJ* sin∠D）（2）。
　　两式相加便可求出S△AEML。同理，还可以求得其余的四个角上的四边形，边上的四个四边形又分别等于它旁边两个四边形的和的一半。这样，周围八个小四边形的面积都可以求出来了。
　　总结：对这道题目的回顾基本上是结束了，总结出来的方法只有在遇到实际题目时才能发挥出来。所以说，对这道题目的反思还将继续下去。

存志中学
初二（2）班
方礼冬
2006.4.25

几何已经忘差不多了，我作了一下，居然那九个小面积都相等，都等于九分之一吗？

以下是作法，请高手指正。

含笑饮砒霜

引用第9楼shinbade于2008-04-05 22:24发表的 :
几何已经忘差不多了，我作了一下，居然那九个小面积都相等，都等于九分之一吗？

以下是作法，请高手指正。

应该不对吧
这样的O1 O2不一定存在吧？
9个四边形也不可能同面积
比如是梯形 O2就不存在 9个四边形面积也显然不等同

我一开始也是这么想的 后来觉得O1 O2根本就不一定存在。。。。 所以才说难

后来想 坐标法倒是可以实现对所有四边形通用 但计算量肯定恐怖的一塌糊涂 能不能得到结论 还不好说 没敢去试

不知道4楼是何解？


另外 中间四边形的对角线应该是和 大四边形的对角线平行的吧？！！
好像长度还等于 大四边形对角线长度的1/3
哈哈
反正这图里头名堂挺多的

jingmouren

引用第9楼shinbade于2008-04-05 22:24发表的 :
几何已经忘差不多了，我作了一下，居然那九个小面积都相等，都等于九分之一吗？

以下是作法，请高手指正。

我下午也想交比定理来着

九个小面积当然不一定相等
但用9楼的结论也可以作这道题目


设中间面积为x
9楼结论利用一下
可得7*x+2/9=1

呵呵

连接EQ、HM
可得SKEQ=SKLX
SYLX=SYHM
所以SKEQ+SYHM=SKLX+SYLX=SKLXY=x

同理，SXPN+SLFG=SKLXY=x

另，SAEQ=1/9SABD
SCHM=1/9*SCBD
所以SAEQ+SCHM=1/9
同理，SBLG+SDPN=1/9
所以总面积为x+2x+2x+x+x+1/9+1/9=7*x+2/9=1
x=1/9

zevyn

这样可以吗?

zevyn

解题方法：

含笑饮砒霜

我怎么觉得 这O1 O2是不存在的呢？
什么交比定理 我也不知道

谁能说说 这两点到底存不存在？？！！

例如 D无限接近A点 而BC很长的情况下
如果O2还存在 那么四边形ADEN  和四边形BFMC面积会相等
这怎么可能？？！！
不太会画图 但是 结论是显而易见的

zevyn

引用第14楼含笑饮砒霜于2008-04-05 23:20发表的 :
我怎么觉得 这O1 O2是不存在的呢？
什么交比定理 我也不知道

谁能说说 这两点到底存不存在？？！！

.......

砒霜兄，你弄个正方形的四边形，再证明一下试试
哈哈！
证明O1、O2点呀！

含笑饮砒霜

引用第13楼zevyn于2008-04-05 23:15发表的 :
解题方法：

第7步是不对的
同理不来的 呵呵
因为 K、L还没有被证明是QG的三等分点
同理  X、Y也没有被证明是PH的三等分点

含笑饮砒霜

引用第15楼zevyn于2008-04-05 23:36发表的 :

砒霜兄，你弄个正方形的四边形，再证明一下试试
哈哈！

证明什么？

zevyn

引用第16楼含笑饮砒霜于2008-04-05 23:40发表的 :


第7步是不对的
同理不来的 呵呵
因为 KL还没有被证明是QG的三等分点
.......

三等分是肯定的
不过我得想想怎么去证明

好像挺难的，明天再想想吧！

含笑饮砒霜

引用第18楼zevyn于2008-04-05 23:45发表的 :

三等分是肯定的
不过我得想想怎么去证明

我也确定、一定以及肯定他是的 呵呵

下线了
目前看来还没有完整无误的证明哦