关于海盗分财宝的趣题

gaokaobsd

有五个海盗，在海上抢来了一百颗钻石，每一颗都价值连城。五个海盗都很贪婪，他们首先都希望自己能分得最多的钻石，其次希望其他海盗尽可能死得多，但同时又都很明智。于是他们按照抽签的方法，排出一个次序。抽到号码最大的海盗第一个分配钻石。所以首先由抽到五号签的海盗说出一套分钻石的方案，如果5个人中有50％以上（不含50％）的人同意，那么便依照这个方案执行，否则的话，这个提出方案的人将被扔到海里喂鱼，接下来再由抽到四号签的海盗继续说出一套方案，然后依次类推，依次递减，最后是抽到一号的海盗。前提是五个海盗都很聪明。

游戏规则就是这样残酷，现在问题出来了：

如果你是抽到五号签的海盗，你计划提出一套什么样的方案，在保住小命的前提下，分得最多的钻石？

  

也许诸位看到这道题后，一时没有任何思路。

显然，五号海盗提出的分配方案必须得到剩下四个海盗中至少两个海盗的同意。也许他会把100颗钻石一分为三，给另外两名海盗（假设是4号和3号）每人33颗，但是如果仔细想想，就会发现并不可行， 因为如果4号和3号非常想让5号死，从而自己得到更多钻石，这种情况也是有的。所以，5号无奈之下，可能只有自己得0，而给4和3各50颗。但仍然有危险，因为这种方法和前一种其实并无本质区别，4号和3号仍然会不同意。

我们不妨倒过来想。

假设现在只有2号海盗和1号海盗，前三号都死了。这时，无论2号海盗提出什么方案，都得不到通过，因为2号同意，1号反对，正好50%，而规则必须大于50%，这样2号海盗必然被扔进海里喂鲨鱼。而最后剩下的1号得到全部100颗财宝。所以，2号绝对不会允许自己来分。他注定是一个弱者中的弱者，他必须同意3号的任何方案！注意这个结论非常重要！

现在我们来看有三名海盗的情形（3号、2号、1号）。3号的分法是：我自己100颗，2号1号0颗，同意的请举手！这时候，2号为了不死，肯定举手，而且是举双手赞成（如果反对，他的下场就是死）！而1号必定暴跳如雷地反对，但是没有用。因为3个人里面有2个人同意，通过率是66.7％，大于50％！

那么，剩下4名海盗的情形呢（4号、3号、2号、1号）？4号所提出的方案必须征得剩下三名海盗中的两名的同意，显然，三号必定不同意，因为如果4号死了，3号能独吞全部的100颗钻石！4号必定要取得2号、1号的赞成票！由于如果是3号分，他们一颗也得不到，如果4号能够适当给2和1一些利益，他们是会同意的。比如4的分配方案是：98，0，1，1，由于2和1都能得到1，比3号来分配的时候只能得到0要好得多，所以他们也会同意。所以，4号最多的98颗宝石。

下面是5名海盗的情况。由5号来分。由于在4号分财宝的时候，3号一颗也得不到，所以5号只要给3号1颗宝石，就会得到3号的支持。而为了通过方案，5号还必须征得剩下4号、2号、1号中的一个海盗的同意。显然，满足4号海盗要比满足2、1号海盗难得多，由于在4号的分配方案中，2、1号只能得1钻石，5号只需稍稍加码，2号或1号便会同意。比如一号要征得2号的同意，方案如下：97，0，1，2，0。或者，征得1号的同意，97，0，1，0，2。

正确的答案应该是：5号分配，依次是：97，0，1，0，2；或者是：97，0，1，2，0。

其实，类似这种题目还有很多。你不必具备多么丰富的知识，也不必有多么巧妙地想法，聪明的你所需要的也许仅仅是一个思维的起点罢了。

以上的题目和解法也许诸位有的早已知道。

但是，问题并没有就此结束。
我们可以把海盗的人数作进一步的扩展。

如果人数是六呢？

根据前面的分析，最简单的方法就是征得在5号方案中分得财宝最少的那几个海盗的同意。由于需要另外3名海盗的同意，假设为4号、3号、1号，其中一种方法为：96，0，1，2，1，0。（不唯一）

如果人数是七呢？

必须征得另外三名海盗的同意。
以上面的6号方法为照：96，0，1，2，0，0，1。（同样不唯一，下同）

如果人数是八呢？

必须征得另外四名海盗的同意。
方法：95，0，1，0，0，1，1，2。

如果人数是九呢？

同样必须征得另外4名海盗的同意。
方法：95，0，1，2，1，1，0，0，0。

如果是十呢？
方法：94，0，1，2，0，0，0，1，1，1。

如果是11呢？
94，0，1，0，0，1，1，1，2，0，0

也许诸位看出点什么来了吧？



这样一直递推下去，知道人数是197。这时，第一个分财宝的197号海盗还能有1个钻石的收获。

当人数是198时，他必须征得99位海盗的同意。其中98个1钻石，1个2钻石，100个正好分完，第一个分财宝的海盗将分文不得。但他还不至于死。

当人数是199时，第199号海盗可以征得198号方案中一无所获的98位海盗的同意，花费99钻石，剩下一个贿赂198号海盗（因为如果198他自己分，他将一无所获），再加上他自己，正好100名，所以199号海盗也可幸存。

但是当如果人数一直加到200时，第200号海盗无论怎么分，都将是死路一条。



不过，尽管200号命中注定死路一条，但并不是说他在游戏进程中不起任何作用。相反，201号现在知道，200号为了能保住性命，就必须避免由他自己来提出分配方案这么一种局面，所以无论201号海盗提出什么样的方案，200号都一定会投赞成票。201号总算侥幸拣到一条命，他可以得到他自己的1票、200号的1票、以及另外99名收买的海盗的赞成票，刚好大于50%。

但是202号就不同了。200、201显然很乐于看到202死，而他们依然能保命。所以，202的下场是死。
203同理，他只能得到202的一票。
204能得到202、203两票，加上收买的99名，共102票，所以他也不能活下来。
205就不同了，他时来运转了。他需要103张赞成票，而202、203、204号都会支持他，加上他自己一
票及收买的99票，他得以过关保命。

从中，我们可以得到一条新的、此后将一直正确的规则：那些方案能被通过的海盗（他们自己均一无所获，但起码能保命））相隔的距离越来越远，而在他们之间的海盗则无论提什么样的方案都会被扔进海里——因此为了保命，他们必会投票支持比他们厉害的海盗提出的任何分配方案。得以避免葬身鱼腹的海盗包括198、199、201、205、213……号，即其号码等于198加2的某一方幂的海盗。

在1000以内，能够提出方案而幸存的最大数为709号海盗，而下一个就已经是1221号海盗。

没想到一道海盗分财宝题目当条件扩展后竟有完全不同于开始的结论，从198号以后，情况就变得扑朔迷离起来。而这，恰恰就是这道智力题的魅力所在！

说明：分析所有这类策略游戏的奥妙就在于应当从结尾出发倒推回去。游戏结束时，你容易知道
何种决策有利而何种决策不利。

关于海盗分财宝的话题就说到这吧。

欢迎大家讨论~~~~~~

当题目中的规定变为含50%时，这道题目的分析就会有所不同。欢迎有兴趣的朋友思考。

我把答案放在附件中，有兴趣的朋友可以下载看看。

绝版孙悟空

现在我们来看有三名海盗的情形（3号、2号、1号）。3号的分法是：我自己100颗，2号1号0颗，同意的请举手！这时候，2号为了不死，肯定举手，而且是举双手赞成（如果反对，他的下场就是死）！而1号必定暴跳如雷地反对，但是没有用。因为3个人里面有2个人同意，通过率是66.7％，大于50％！

有点疑问：如果3号要100，0，0这样分的话，2号为什么要同意？
2号如果不同意的话，
对于1号来说，他如果同意，那么2号就得去死，他得到0，
如果他不同意的话，那么1号就得去死，然后2号再提出分配方案必然是100，0，他只得同意，也只能得到0。
也就是说2号和3号的命运实际上把握在1号手里，无论是3号还是2号，1号得到的总是0。
根据前面的假设，海盗都是很乐意看到其他人去死的，所以对于3号来说，100，0，0这样的分配方案有很大的风险。应该给1号点甜头，99，0，1这样更合理吧？

绝版孙悟空

晕，前提我看错了

如果5个人中有50％以上（不含50％）的人同意

gaokaobsd

引用第2楼绝版孙悟空于2009-04-24 22:37发表的 :
晕，前提我看错了

如果5个人中有50％以上（不含50％）的人同意

含50％的情况上传在附件里了

布壁绣

这个是博弈论要回答的问题。题目本身就包含着很多的理想的假设吧。比如大家的信息是对称的，没有存在联盟的可能，每个人都是理智的。。。。（学博弈论已很久，很多东西都还给老师了）

极品小书童

是啊，不管怎么着，还是理想状况下的结果。
所以才有了结盟。

艺人他

博弈呀