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[【理工类原创】] “好线”的本质探究及其推广

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发表于 2007-11-23 22:20:21 | 显示全部楼层 |阅读模式
“好线”的本质探究及其推广
彭翕成   
   武汉 华中师范大学教育信息技术工程研究中心   430079

《数学教学》(2007年第1期)刊登的文[1]列举了几个很有特色的探索性题目,其中例1中的“好线”引起了笔者的兴趣。文[1]中的“好线”,指的是能够平分四边形面积的直线。笔者经过思考,觉得“好线”的定义可以进一步推广到能够平分凸多边形面积的直线,甚至还可以将“2等分”推广到“n等分”。
1 “退到”三角形
我们先来看看文[1]是怎么作出“好线”的。如图1,在四边形ABCD中,取对角线BD的中点O,连接OA,OC。显然折线AOC平分四边形ABCD面积。再过点O作 交CD于E,则直线AE即为一条“好线”。AE是符合要求的“好线”,道理很简单: 。但是进一步思考,我们就会发现这种作法是不利于“好线”的推广的,试想一下这种作法能否作出一条平分五边形面积的直线?笔者认为比较困难。为了“进”,为了推广到五边形,我们采取先“退”,“退到”最简单的多边形——三角形中来考虑问题。正如数学大师华罗庚所讲的那样:“善于‘退’,足够地‘退’,‘退’到最原始而不失去重要的地方,是学好数学的一个诀窍!”
如图2,在△ABC中,要作一条直线平分三角形面积非常简单,最容易想到是过三条中线的直线,所用到的数学原理就是小学所学的“等底等高的三角形面积相等”。下面笔者将反复运用此原理将“好线”进行推广。
         
       图1                 图2
2 特殊要求的“好线”
如果我们还要将一些特殊要求附加给“好线”:譬如要求“好线”经过指定的某点。这一点并不难实现,如图3,我们先作出中线BD,然后在BC(或AB)边上任取点E,再作 交AC于F,易证直线EF平分△ABC面积。由于三角形有三条中线,类似地我们还可以作出其他符合要求的EF直线,而当点E在△ABC边界上运动时,EF扫过整个平面。所以不管指定点在何位置(包括三角形内,边界,三角形外),都有过这一点的“好线”。从这也可以看出,“好线”不是唯一的,而且条数还很多。
         
图3                  图4
上述附加要求可以看作是一个实际问题的需要:兄弟两人要平分一块三角形土地,且分割线要经过一个共用的水井。类似的实际问题还有:兄弟三人要三等分一块三角形土地,且分割之后,三家都能独当一面。如图4,我们先作出BC边上的两个三等分点D、E,然后过点D作AB的平行线,过点E作AC的平行线,两平行线交于点F。易证
。这一问题虽然看起来已经超出“好线”的研究范围,但也给我们启示:要等分三角形面积,哪怕还附加特殊条件,我们都可转化成等分三角形某边长的问题来解决,而且比较容易。
3 凸四边形的“好线”
下面我们运用前文所总结的思想方法作一条平分四边形ABCD面积的直线。如图5,首先过点C作CE平行DB交AB延长线于点E,易证 ,则△AED的中线DF所在直线即为所求。此处需要注意的是,AE的中点F未必在线段AB上,如果AB较短,那么点F很可能落在线段AB的延长线上(图6),所以我们还得多费一次功夫,过点F作BD的平行线交CD于G,BG才是所要求的直线。由此得出经验,我们在实际作图时,尽可能选择较长的边。
         
图5                  图6
4 凸n边形的“好线”
行文至此,可能有些读者还看不出本文的作图方法比文[1]有何优越之处,其实图5,6的作图步骤已经暗藏了作“好线”的通法了。
第一步:通过作平行线,将凸n边形进行等面积变换,逐步变成凸n-1边形,凸n-2边形……最终变成三角形,图7所展示的就是n边形 向n-1边形 转化的过程,其中 交 的延长线于K。
第二步:作出最终所得三角形的“好线”。所作的“好线”是否就是所求,还是未知数,因为通过转化得到的凸n-1边形的“好线”未必就是凸n边形的“好线”,我们还要像图5,6的作法一样,分情况考虑,逐步将凸n-1边形的“好线”转化为凸n边形的“好线”。
按照以上两个步骤就能作出凸多边形的“好线”,在具体作图时,还有两点技巧能够减少作图工作量。(1)就是前文所讲的选择多边形的较长边;(2)在多边形转化成三角形的过程中,要灵活处理。
下面给出五边形ABCDE“好线”的具体作法:首先过点E作EF平行DA交AB延长线于点F,过点C作CG平行DB交AB延长线于点G;△DFG的中线DH所在直线即为所求“好线”。
   
图7           图8              图9
5 “好线”的本质及推广
由以上作法可知,多边形的“好线”问题可化归为三角形的“好线”问题,而三角形的“好线”问题实质就是“等底等高的三角形面积相等”。我们在完成2等分凸多边形面积之后,也可以很容易地实现n等分凸多边形面积,图9就是3等分五边形的作法,其中点I,H是线段FG的三等分点。

参考文献
1  黄忠梁. 2006年中考题中的亮点.数学教学.2007.1

   此稿投向华东师大的《数学教学》,已录用。

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