探索 趣味数学类-有关面积的问题（黄容之二）（含笑饮砒霜和shenxiu做了一回聪明

嗯，发现错误了！

九楼中的两个相交点，是不存在的！

错误的原因：

当存在这两个点时，交比相等；但交比相等，远远不能得出存在那样两个点，除非特殊情况——梯形（包括矩形、正方形）。

我记错了定理了，正定理，逆定理……呵呵。

shenxiu

自己找自己的茬啦，呵呵
其实这个是一般情况啦，首先假设两对边平行，则为平行四边形，易证；
然后，假设只有一组对边平行，此时为梯形，试证之（平行线等分线段成比例）；
最后，一般情况就如九楼图，但是需要修正一下，去掉中间的虚线！

引用第20楼shinbade于2008-04-06 08:06发表的 :
嗯，发现错误了！

九楼中的两个相交点，是不存在的！

错误的原因：
.......

oujunzhu

详细解答，可以参考一下。
引自《新概念几何》张景中

shenxiu

三等分线连线分中间的面积为总面积的1/3，前面已有证明，不再详述；
下面说明一下为何中间的四个点也是3等分点，
如图，连接FG、FQ、GM、QM，
只要有三角形FGQ的面积是三角形MGQ的一半，就说明L是FM的三等分点，
由于三角形AGQ的面积是三角形DGQ的一半，
  三角形BGQ的面积是三角形CGQ的一半，
而三角形FGQ的面积为三角形AGQ的三分之一加上三角形BGQ的三分之二，
同理三角形MGQ的面积为三角形DGQ的三分之一加上三角形CGQ的三分之二，
所以有FGQ的面积是三角形MGQ的一半，则L为FM的三等分点。
同理可证K、X、Y也是三等分点，有前面的结论可知中间的面积为1/3*1/3*总面积。


注意，虽然中间的都是三等分点，但并不意味着所有的小四边形面积都是1/9哦

shenxiu

利用都是三等分点的结论，可以有下面的同色小三角形面积互补，为1/9总面积。

含笑饮砒霜

引用第11楼jingmouren于2008-04-05 23:07发表的 :

我下午也想交比定理来着

九个小面积当然不一定相等
但用9楼的结论也可以作这道题目
.......

这个怎么得到的？

可得SKEQ=SKLX
SYLX=SYHM

含笑饮砒霜

12楼+13楼（前6步）+23楼应该是正解了  

含笑饮砒霜

引用第21楼shenxiu于2008-04-06 09:19发表的 :
自己找自己的茬啦，呵呵
其实这个是一般情况啦，首先假设两对边平行，则为平行四边形，易证；
然后，假设只有一组对边平行，此时为梯形，试证之（平行线等分线段成比例）；
最后，一般情况就如九楼图！

.......

9楼的图根本不可能存在
特殊情形对边平行 那显然不存在

一般情况 无对边平行 而9楼的图存在的话
一定会得到S□AEND=S□BCMF
但是 S□AEND=S△ADE+S△EDN<S△BFM+S△BCM=S□BCMF

所以是不可能的

shenxiu

其实九楼中的图是不对的，如果那几条线都交于同一点，
则有九个小四边形面积相等-->原来为平行四边形。矛盾！

在证明中间的面积为1/3总面积时，只要延长原四边形ABCD即可。
如图：三角形ADO的面积为x*y*sin(O)/2,
三角形ENO的面积为(x+a)(y+b)*sin(O)/2,
三角形FMO的面积为(x+2a)(y+2b)*sin(O)/2,
三角形BCO的面积为(x+3a)(y+3b)*sin(O)/2,
四边形ABCD的面积为(x+3a)(y+3b)*sin(O)/2-x*y*sin(O)/2,
四边形FMNE的面积为(x+2a)(y+2b)*sin(O)/2-(x+a)(y+b)*sin(O)/2,
展开可以看出为1/3的关系！

引用第25楼含笑饮砒霜于2008-04-06 11:04发表的 :

shenxiu

总觉得编写公式比较麻烦啊，只能用文字说明一下了，呵呵

含笑饮砒霜

12楼+13楼（前6步）+23楼  

可以结案了

jingmouren

引用第25楼含笑饮砒霜于2008-04-06 11:04发表的 :

可得SKEQ=SKLX
SYLX=SYHM

三角形面积公式啊
SKEQ=1/2*sin(<EKQ)*EK*QK

含笑饮砒霜

引用第31楼jingmouren于2008-04-06 13:15发表的 :

可得SKEQ=SKLX
SYLX=SYHM

三角形面积公式啊
.......

但是还没有证明 EK=KX  QK=KL呀


另外 我是没有做出来 虽然现在看来也不太难
我只是在不断的纠错 ^_^

jingmouren

引用第24楼shenxiu于2008-04-06 10:16发表的 :
利用都是三等分点的结论，可以有下面的同色小三角形面积互补，为1/9总面积。

QPK与HGY为啥互补和为1/9 我就没看出来

还有楼主老早说有解法了，怎么也没贴出来

含笑饮砒霜

楼主的解法应该也是5楼说的步骤吧

只是第1、2个步骤的解法可能有不同

hsq2516941

引用第34楼含笑饮砒霜于2008-04-06 15:08发表的 :
楼主的解法应该也是5楼说的步骤吧

只是第1、2个步骤的解法可能有不同

这您都猜得到-------，佩服！确实思路是这样的，说得好！
对于步骤1，我目前有4种证法，对于步骤2、3有两种方法，我目前在医院，不方便弄上来，稍后我会发上来。

PS。前面的讨论，我认真看了，我们这个版块，藏龙卧虎，而且有这么多爱好几何的朋友，真令人愉快！！

jingmouren

中间四点为三等分点的另一证法

EQ BD DN平行
EQ：BD=1:3
NG:BD=2：3

所以EQ:NG=1:2

EK:NK=EQ:NG=1:2

所以K是EN的三等分点
其他诸点类似可证

hsq2516941

谢谢含笑、shenxiu、jingmouren等朋友的积极参与！
经过你们的工作，这个题的证明已经完成得很好了！
这里贴上我前面做的一种证法，与jingmouren提供的证法差不多。。。。

hsq2516941

引用第23楼shenxiu于2008-04-06 10:00发表的 :
三等分线连线分中间的面积为总面积的1/3，前面已有证明，不再详述；
下面说明一下为何中间的四个点也是3等分点，
如图，连接FG、FQ、GM、QM，
只要有三角形FGQ的面积是三角形MGQ的一半，就说明L是FM的三等分点，
由于三角形AGQ的面积是三角形DGQ的一半，
.......

要是能说明一下，这些令人“眼花”的辅助线是如何想到的，对大家更有帮助。。。

hsq2516941

拓展：若除四边形四个顶点外，其余的点都是相应边的2n+1(n是非零自然数）等分点，则最中间一块的面积是整个大四边形的面积的几分之一？
（只需要说出结果即可）