再谈玛丽莲问题

gaokaobsd

在悬赏区车大侠曾经提问过玛丽莲问题(http://www.readfree.net/bbs/read ... ;toread=&page=1)，而指舞如歌也发帖讨论过玛丽莲问题(http://www.readfree.net/bbs/read.php?tid=4718908)。在看玩了两个主题的所有帖子后，我也想谈谈我的看法。



玛丽莲问题是一个有趣的智力游戏：

有三扇门可供选择，其中一扇门后面是汽车，另两扇门后面是山羊。你当然想选中汽车。主持人让你随便选。比如，你选中了一号门。于是，主持人打开了后面是山羊的一扇门，比如是三号门。现在主持人问你：“为了以较大的概率选中汽车，你是坚持选一号门，还是愿意换选二号门？”


这道题目的标准答案是换选二号门。




为了说明这个问题，首先介绍一下条件概率和贝叶斯公式。

在实际问题中，有时除了要知道事件A的概率P(A)外，有时还需要知道在事件B已发生的条件下，事件A发生的概率，这就是我们所要讲的条件概率，将它记为P(A|B)。
假设掷一颗骰子，观察其出现点数。令事件A表示“出现点数小于4”，则P(A)=1/2。如果已知事件B表示“出现偶数点”，且B已发生，这时只剩下三种可能，即“2点”，“4点”或“6点”。从而在B已发生的条件下，A发生的概率为P(A|B)=1/3。


下面介绍贝叶斯定理：
若A1，A2，……，An为独立事件，且可导致事件B发生，若事件B已发生，则事件Ak发生地可能性为:
  
这个公式请大家记住。

为了便于大家理解贝叶斯公式，先举个例子：
某人从甲地至乙地开会。他乘火车去的概率是3/10，乘船、汽车或飞机去的概率分别为1/5、1/10、2/5。如果他乘火车去，迟到的概率是1/4；如果乘船或汽车，那么迟到的概率分别为1/3,1/12；如果乘飞机便不会迟到。结果他迟到了，试问：在此条件下，他是乘火车去的概率为多少？

我们把乘火车、乘船、乘汽车、乘飞机分别看做A1、A2、A3、A4，把迟到看做是B，
由已知     P(A1)=3/10，  P(A2)=1/5，
          P(A3)=1/10， P(A4)=2/5，
          P(B|A1)=1/4， P(B|A2)=1/3，
          P(B|A3)=1/12， P(B|A4)=0 。
于是所求概率即为P(A1|B)，代入贝叶斯公式即可求的。




下面讨论玛丽莲问题：
通过对比这个例子，如果我们把B看做主持人打开第三扇门发现是羊这个事件，把A1看做第一扇门后是车，把A2看做是第二扇门后是车。
我们要求的即是P(A1/B)和P(A2/B)。
而根据贝叶斯公式，我们只需知道P(A1)、P(A2)、P(B|A1)、P(B|A2)便可求出P(A1/B)和P(A2/B)。
易知P(A1)=P(A2)=1/3。



如果主持人知道车在哪一扇门后：
那么假设车在第一扇门后，主持人可打开第二扇门或者可打开第三扇门，因此，打开第三扇门发现是羊的概率P(B|A1)=1/2。
假设车在第二扇门后，主持人则只能打开第三扇门，因此，打开第三扇门发现是羊的概率P(B|A2)=1。
代入贝叶斯定理，
易得
P(A1|B)=(1/3*1/2)/(1/3*1/2+1/3*1)=1/3。
P(A2|B)=(1/3*1)/(1/3*1/2+1/3*1)=2/3。
这就是为什么要换二号门的原因。



如果主持人不知道车在哪一扇门后：
如果车在第一扇门后，情况和先前一样。P(B|A1)=1/2。
而如果车在第二扇门后，由于主持人并不知道情况，他还是会打开剩下的两扇门中的其中一扇，只不过若打开第二扇门，会是车。所以打开第三扇门发现是羊的概率P(B|A2)还是1/2。这是区别于上一情况的重点。
同样代入贝叶斯定理，
易得
P(A1|B)=(1/3*1/2)/(1/3*1/2+1/3*1/2)=1/2。
P(A2|B)=(1/3*1/2)/(1/3*1/2+1/3*1/2)=1/2。
这就是“不换”的原因。遗憾的是，从游戏的设置来看，主持人不知情的可能性很小。


以上是用贝叶斯定理严格证明玛丽莲问题的过程。
如果各位看到这里，已完全清楚了，那么接下来的你就可以不看了。
如果你还不是很清楚，那么请继续往下读：



以下讨论均以主持人了解内情为前提：


换一种思路：

如果车在第一扇门后：

那么所有情况如下：


显然换的概率为2/3，而不换的概率为1/3。



也可以这样想：
如果你不换却中奖了，那就是你本来就选中了奖品所在的那一扇门，所以概率是你在3个中选中了奖品，概率自然是1/3；如果你换了中奖，就是说你原来选的是羊，原来两扇门后面是羊，概率当然便是2/3。



亦可以这样想：
我们来假设有1000扇门，其中一扇门后是汽车，其他都是羊。现在先让你选择一扇门，然后出题者在剩下999扇门后打开了998扇，竟然全都是羊！！！！这时，你更不更改选择呢？？？
如果你不改变选择，结果你猜中汽车的概率还是千分之一（即你一开始就在1000个可能性中选择了正确的可能性）；如果你改变了选择，你几乎就得到了汽车！因为假定在1000选一时，你选中的目标有千分之999的机会不是汽车，那么显然你选择改变后有千分之999的机会是汽车了。
不明白么？虽然表面上来看这种游戏你获胜的几率不管如何选择都非常大，实际上大胜率是在改变选择的基础上造成的，而不是基于你原先的选择。


这是一个耐人寻味的逻辑问题，所以不要让你的情绪、猜疑和你的直觉支配你自己。


欢迎大家踊跃讨论。提出自己的看法。

gaokaobsd

晕啊
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竟没有一个回帖。。。。。
555

goah

这么饶有兴趣，我也来插一脚。


其实很多时候简单就好，很多时认为别人想当然的时候，其实自己在想当然，这也就是我。呵呵

条件概率问题，首先要弄清楚啥 事件是条件，在这个条件下求 啥事件的概率。
引用1：

引用第0楼gaokaobsd于2009-04-10 20:33发表的 再谈玛丽莲问题 :
如果主持人知道车在哪一扇门后：
那么假设车在第一扇门后，主持人可打开第二扇门或者可打开第三扇门，因此，打开第三扇门发现是羊的概率P(B|A1)=1/2。
假设车在第二扇门后，主持人则只能打开第三扇门，因此，打开第三扇门发现是羊的概率P(B|A2)=1。

看到这里我几个问题，顺道问一下。因为我觉得这条件概率这东西首先得概念清楚，并非钻牛角。
P(B|A1) 是啥呢？
1、是主持人打开第三扇门发现是羊的概率？？条件是啥呢？ 条件 是第一扇门后是车 抑或是游戏者选择第一扇门，并且第一扇门后是车？
如果问题得到肯定答案的话，那么就是有在这些条件下，有两种情况1. “主持人打开第二扇门发现是羊” 2. “主持人打开第三扇门发现是羊”；而“主持人打开第三扇门发现是羊”的概率也就是 1/2了。这样说来，无形中，门也就是有编号的，也就是有第一扇门，第二扇门，第三扇门（如果门有编号了，那么某人选择到某一扇门也是事件，就如上面的说“游戏者选择第一扇门”当作某概率的条件）。这跟后面的引用2也就存在了矛盾。
PS：如果门没有编号，那么主持人打开剩余两门中一扇门发现是羊的概率。而 条件是被游戏者选到的门是车。那么这个概率就1；因为主持人不管打开哪一个门都是羊，也就是100％成功的事件。

引用2：

引用第0楼gaokaobsd于2009-04-10 20:33发表的 再谈玛丽莲问题 :
换一种思路：
如果车在第一扇门后：
那么所有情况如下：

显然换的概率为2/3，而不换的概率为1/3。

既然上面说到门有编号了，为何解释是上图而不是下图呢。

gaokaobsd

感谢goah的回复。

首先回答goah兄的第一个问题：

看到这里我几个问题，顺道问一下。因为我觉得这条件概率这东西首先得概念清楚，并非钻牛角。 P(B|A1) 是啥呢？ 1、是主持人打开第三扇门发现是羊的概率？？条件是啥呢？ 条件 是第一扇门后是车 抑或是游戏者选择第一扇门，并且第一扇门后是车？如果问题得到肯定答案的话，那么就是有在这些条件下，有两种情况1. “主持人打开第二扇门发现是羊” 2. “主持人打开第三扇门发现是羊”；而“主持人打开第三扇门发现是羊”的概率也就是 1/2了。这样说来，无形中，门也就是有编号的，也就是有第一扇门，第二扇门，第三扇门（如果门有编号了，那么某人选择到某一扇门也是事件，就如上面的说“游戏者选择第一扇门”当作某概率的条件）。这跟后面的引用2也就存在了矛盾。 PS：如果门没有编号，那么主持人打开剩余两门中一扇门发现是羊的概率。而 条件是被游戏者选到的门是车。那么这个概率就1；因为主持人不管打开哪一个门都是羊，也就是100％成功的事件。

兄其实说的是一个数学建模的问题：

我讨论的是游戏者选择第一扇门，而主持人开的是第三扇门。
（注：这是假设，是前提，并不是概率）
计算的是车在第一扇门和第二扇门后的概率。

当然，也可以假设游戏者选择第一扇门，而主持人开第二扇门。
此时，就应计算车在第一扇门和第三扇门后的概率。

更可以假设游戏者选择第二扇门，而主持人打开第一扇门。
或游戏者选择第二扇门，而主持人打开第三扇门。

还有就是，游戏者选择第三扇门，而主持人打开第一扇门。
或游戏者选择第三扇门，而主持人打开第二扇门。

一共有六种情况，是不是所有情况都考虑到了？
而每种情况的结果都是换选的概率是2/3。

我只是选了其中的一种模型来计算。

而兄的第二个问题其实也和第一个问题相关：

在前面，我选的模型是先确定游戏者选的是几号门和主持人开的是几号门，而车的位置不确定，
讨论换与不换那种概率高。这是为了贝叶斯公式计算的方便。

而这里，是确定车的位置，而游戏者选的是几号门和主持人开的是几号门不确定。
同样有车在一号门后、在二号门后、在三号门后三种假设，
我选的是第一种假设，三种假设的结果是完全一样的。

而为什么是我的表格，而不是楼上兄的表格，我也仔细的考虑过。
因为要保证表格第一栏的事件是等概率事件。



显然，游戏者选第一、二、三扇门的概率是相等的，因此表格只可能是三行。
而兄的表格，无形中增加的游戏者选第一扇门的概率。
这也是兄得出换与不换概率一样的原因。

再次感谢兄的关注。

goah

呵呵，算了，我不说了！！！

应该怪我说的不够明白！！

其实自己一个一个地划表格，就自然会知道结果！！

其实门是不应该有编号的，那么题目其实就如如下：
黑盒子里面有红色小玻璃球1个，蓝色小玻璃球2个，小王、小李两个人每人选择一个球。小王从中抓出一个球，握在手中；而小李具有“透视眼”，从黑盒子剩下的两个球中取出一个蓝色小玻璃球；求小王手中的是红色小玻璃球的概率和黑盒子中是红色小球的概率。


有兴趣的可以玩玩，我只是奇怪竟然有人可以得到1/3,2/3的结果。

gaokaobsd

不知有没先后顺序哎？

指舞如歌

引用第2楼goah于2009-04-13 14:23发表的 :
P(B|A1) 是啥呢？.......

P(B|A1)的直观含义是：“事实上车在第一扇门中，你选择了第一扇门，主持人在剩余的两扇门中选择一扇，并且恰好选中的是第三扇门”的概率。

由于主持人可以在剩余的两扇门中任意选择一个，所以选中第三扇门的概率是1/2，所以P(B|A1)=1/2。

goah兄如果对这个问题有兴趣，最好的办法是找一本概率论方面的教材研读一下。贝叶斯公式是比较初步的内容，任何一本入门教程都会讨论。在论坛上讨论未必能帮助你厘清问题，更有可能的是，越说越糊涂。

随便说一句，楼主在三楼的回复并无错误，但是显然以直觉代替了数学计算。

goah

引用第6楼指舞如歌于2009-04-13 19:53发表的 :


P(B|A1)的直观含义是：“事实上车在第一扇门中，你选择了第一扇门，主持人在剩余的两扇门中选择一扇，并且恰好选中的是第三扇门”的概率。

由于主持人可以在剩余的两扇门中任意选择一个，所以选中第三扇门的概率是1/2，所以P(B|A1)=1/2。

兄别急，我只是说引用部分；我自问对贝叶斯公式还是有点了解的，但这仅仅引用部分都错了，还何从谈贝叶斯公式

兄有兴趣，可以看看四楼！！

指舞如歌

引用第7楼goah于2009-04-13 20:07发表的 :


兄别急，我只是说引用部分；我自问对贝叶斯公式还是有点了解的，但这仅仅引用部分都错了，还何从谈贝叶斯公式

兄有兴趣，可以看看四楼！！

哦？

错在哪里？愿闻其详。请说说究竟错在哪里？

重新注册

2个人拿2个苹果1个橘子试试看看如何就好了

muntzer

引用第0楼gaokaobsd于2009-04-10 20:33发表的 再谈玛丽莲问题 :
也可以这样想：
如果你不换却中奖了，那就是你本来就选中了奖品所在的那一扇门，所以概率是你在3个中选中了奖品，概率自然是1/3；如果你换了中奖，就是说你原来选的是羊，原来两扇门后面是羊，概率当然便是2/3。

楼主的这个解法，我还是今天第一次看到，我个人表示推崇。

这种解法，基本杜绝了争议的存在。

这个题目，网络上几年前就讨论过了，历史上也曾数度引起人们的兴趣。

我第一次接触这个问题时，站在了错误的立场，而且，无论别人怎么解释都一概听不进去，总是认为换与不换都是二分之一的概率。

后来，正是楼主所列举的“亦可以这样想：我们来假设有1000扇门，其……”这个解法，让我茅塞顿开。

gaokaobsd

呵呵~
感谢muntzer兄的支持。。。。